Натуральный логарифм
-
Определение натурального логарифма
- Натуральный логарифм числа x — это степень, в которую нужно возвести e, чтобы получить x.
- Натуральный логарифм e равен 1, а ln 1 равен 0.
- Натуральный логарифм может быть определен как площадь под кривой y = 1/x от 1 до x.
-
Свойства натурального логарифма
- ln(x) = ln(y) + ln(z) для x > 0 и y > 0.
- ln(x/y) = ln(x) — ln(y) для x > 0 и y > 0.
- ln(x^y) = y ln(x) для x > 0.
- ln(x^y) = (ln(x))/y для x > 0 и y ≠ 0.
- ln(x) < ln(y) для 0 < x < y.
- lim x→0 ln(1+x)/x = 1.
- lim α→0 x^α-1/α = ln(x) для x > 0.
- x-1/x ≤ ln(x) ≤ x-1 для x > 0.
- ln(1+x^α) ≤ αx для x ≥ 0 и α ≥ 1.
-
История и условные обозначения
- Натуральный логарифм был разработан Грегуаром де Сен-Винсентом и Альфонсом Антонио де Сарасой.
- Обозначения lnx и loge x относятся к натуральному логарифму.
- В некоторых контекстах log x может означать общий логарифм по основанию 10 или двоичный логарифм.
-
Интегральное определение
- Натуральный логарифм положительного действительного числа a можно определить как площадь под графиком гиперболы y = 1/x между x = 1 и x = a.
- Это интеграл ln(a) = ∫1^a 1/x dx.
-
Свойства натурального логарифма
- ln(1) = 0, ln(e) = 1.
- ln(xy) = ln(x) + ln(y) для x > 0 и y > 0.
-
Производная натурального логарифма
- Производная натурального логарифма равна 1/x.
- Это следует из определения логарифма как интеграла или обратной величины экспоненциальной функции.
-
Серии Тейлора и Меркатора
- Натуральный логарифм не имеет ряда Маклорена, но имеет серии Тейлора и Меркатора.
- Серия Тейлора для ln(x) около 1: ln(x) = ∑k=1∞(-1)k-1(x-1)k/k.
- Серия Меркатора для ln(1+x): ln(1+x) = ∑k=1∞(-1)k-1/k(x)k.
-
Частные случаи и приближения
- Для натуральных чисел n: ln(n+1/n) = ∑k=1∞(-1)k-1/knk.
- Для x ≥ 1/2: ln(x) = −ln(1/x) = ∑k=1∞(x-1)k/kxk.
- Для целых положительных n: ln(n+1/n) = ∑k=1∞1/k(n+1)k.
- Для x ≥ 0 и x ≠ 0: ln(x) = ln(2x/2) = ln(1+x-1/x+1/1-x-1/x+1).
-
Бесконечное произведение
- Натуральный логарифм также может быть выражен как бесконечное произведение: ln(x) = (x-1)∏k=1∞(2/1+x2k).
-
Интеграл от ln(x)
- Интеграл от ln(x) равен ln(x) + C, где C — произвольная константа интегрирования.
- Интеграл от ln(x) можно вычислить с помощью интегрирования по частям.
-
Эффективные вычисления ln(x)
- Для ln(x) при x > 1, чем ближе x к 1, тем быстрее сходимость ряда Тейлора.
- ln(123.456) ≈ ln(1.23456) + 2 ln(10).
-
Натуральный логарифм 10
- ln(10) ≈ 2.30258509.
- ln(a ⋅ 10^n) = ln(a) + n ln(10).
-
Высокой точности вычисления
- Для ln(x) с высокой точностью можно использовать метод Гаусса или Ньютона.
- Формула ln(x) ≈ π/2M(1, 4/s) − m ln(2) также эффективна.
-
Специальные функции
- Некоторые калькуляторы и системы предоставляют функцию log1p для более точных результатов при ln(x) близких к нулю.
- IEEE 754-2008 определяет аналогичные функции для двоичных и десятичных логарифмов.
-
Вычислительная сложность
- Вычислительная сложность вычисления ln(x) с помощью арифметико-геометрического среднего равна O(M(n) ln(n)).
-
Продолженные дроби
- Существуют обобщенные продолженные дроби для ln(1 + x) и ln(1 + x/y).
- Эти дроби быстро сходятся для значений, близких к 1.
-
Комплексные логарифмы
- Экспоненциальная функция может быть расширена на комплексные числа.
-
Инверсия экспоненциальной функции
- Экспоненциальная функция может быть инвертирована для получения комплексного логарифма.
- Логарифм обладает большинством свойств обычного логарифма, но имеет две трудности.
-
Трудности с определением логарифма
- Ни у одного x нет ex = 0.
- e2in = 1 = e0.
- Мультипликативное свойство экспоненциальной функции сохраняется, что приводит к многозначности логарифма.
-
Однозначность логарифма
- Логарифм может быть однозначным только на плоскости разреза.
- Пример: ln i может быть определен как ln(2) или ln(5) или ln(-3) и т.д.
-
Графики функции натурального логарифма
- Графики функции натурального логарифма на комплексной плоскости.
- Примеры: z = Re(ln(x + yi)), z = |(Im(ln(x + yi)))|, z = |(ln(x + yi))|.
-
Дополнительные сведения
- Повторяющийся логарифм.
- Логарифм Нейпира.
- Список логарифмических тождеств.
- Логарифм матрицы.
- Логарифмические координаты элемента группы Ли.
- Логарифмическое дифференцирование.
- Логарифмическая интегральная функция.
- Николас Меркатор — первый, кто использовал термин натуральный логарифм.
- Полилогарифм.
- Функция Фон Мангольдта.