Неравенство Уитни
-
Теорема Уитни
- Неравенство Уитни ограничивает погрешность аппроксимации функций многочленами.
- Доказано Хасслером Уитни в 1957 году и важно для теории аппроксимации.
-
Формулировка теоремы
- Обозначает наилучшую равномерную аппроксимацию функции алгебраическими многочленами.
- Модули гладкости порядка k функции f определяются как конечные разности.
-
Константа Уитни
- W(k) — наименьшая константа, удовлетворяющая неравенству Уитни.
- Особенно полезна для сплайновой аппроксимации на коротких интервалах.
-
Доказательство теоремы
- Уитни использовала аналитический аргумент, но доказательство может быть упрощено с помощью K-функционалов Пеэтра.
- Приводится доказательство с использованием многочленов Лагранжа и выбора δ.
-
Гипотеза Сендова и оценки констант Уитни
- Сендов предположил, что W(k) ≤ 1 для всех k.
- Были получены различные оценки W(k), включая O(k2k) и O(klnk).
- Крякин и др. показали, что W(k) ≤ 2 для k ≤ 82000 и W(k) ≤ 2 + 1/e2 для всех k.