Оглавление
- 1 Неразличимые частицы
- 1.1 Неразличимые частицы в квантовой механике
- 1.2 Различение частиц
- 1.3 Симметричные и антисимметричные состояния
- 1.4 Симметрия обмена
- 1.5 Фермионы и бозоны
- 1.6 Смешанная симметрия и анионы
- 1.7 Статистика кос и теорема о спиновой статистике
- 1.8 Дробное вращение и N частиц
- 1.9 Измерение и волновая функция
- 1.10 Операторский подход и парастатистика
- 1.11 Статистические свойства
- 1.12 Статистическое поведение бозонов и фермионов
- 1.13 Статистика частиц
- 1.14 Гомотопический класс
- 1.15 Статистика Бозе-Эйнштейна
- 1.16 Статистика Ферми-Дирака
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Неразличимые частицы
Неразличимые частицы
-
Неразличимые частицы в квантовой механике
- Неразличимые частицы невозможно отличить друг от друга даже в принципе
- Примеры: электроны, атомные ядра, атомы и молекулы
- Не существует исчерпывающего списка всех возможных типов частиц
-
Различение частиц
- Различение возможно по внутренним физическим свойствам или по траектории
- В квантовой механике частицы управляются волновыми функциями, что делает их неразличимыми
-
Симметричные и антисимметричные состояния
- Симметричные состояния: сумма состояний частиц
- Антисимметричные состояния: разница состояний частиц
- Принцип исключения Паули: более одной частицы не могут занимать антисимметричное состояние
-
Симметрия обмена
- Оператор обмена P обменивает значения векторов состояния
- P является эрмитовым и унитарным, его собственные значения +1 и -1
- Симметричные и антисимметричные состояния не меняются при обмене метками частиц
-
Фермионы и бозоны
- Бозоны: симметричные состояния, статистика Бозе–Эйнштейна
- Фермионы: антисимметричные состояния, статистика Ферми–Дирака
- Парастатистика: математически возможна, но не существует в природе
-
Смешанная симметрия и анионы
- В двумерных системах возможна смешанная симметрия, известные как анионы
- Анионы подчиняются дробной статистике, экспериментальные доказательства в частичном квантовом эффекте Холла
-
Статистика кос и теорема о спиновой статистике
- Статистика кос связана с частицами плектоны
- Теорема о спиновой статистике связывает симметрию обмена с спином частиц: бозоны имеют целочисленный спин, фермионы – полуцелочисленный
-
Дробное вращение и N частиц
- N частиц с квантовыми числами n1, n2, …, nN
- Бозоны занимают симметричные состояния, фермионы — антисимметричные
- Нормализующая константа для бозонов — квадратный корень из суммы, для фермионов — sgn(p)
-
Измерение и волновая функция
- Измерение на дискретных наблюдаемых величинах дает симметричные или антисимметричные состояния
- Волновая функция для непрерывных наблюдаемых величин нормализуется к дельта-функции
- Волновая функция многих тел записывается через интегралы по координатам
-
Операторский подход и парастатистика
- Гильбертово пространство для N частиц задается тензорным произведением
- Группа перестановок S_n действует на пространство, переставляя элементы
- Неприводимые подпространства под S_n включают симметричные и антисимметричные состояния
-
Статистические свойства
- Неразличимость частиц влияет на их статистические свойства
- Функция разделения данных для различимых частиц завышена, для неразличимых — занижена
- Парадокс Гиббса: энтропия классического идеального газа не удваивается при удвоении N и V
-
Статистическое поведение бозонов и фермионов
- Бозоны собираются в одно квантовое состояние, фермионы заполняют множество состояний
- Принцип исключения Паули: фермионы не могут делиться квантовыми состояниями
- Пример с двумя частицами: различимые частицы имеют четыре состояния, идентичные бозоны — три
-
Статистика частиц
- Вероятность обнаружения частиц в одном и том же состоянии выше для бозонов, чем для различимых частиц.
- Для идентичных фермионов доступно только одно состояние, полностью антисимметричное.
- В эксперименте одна частица всегда находится в одном состоянии, а другая в другом.
-
Гомотопический класс
- Частицы представляют собой точечно локализованные возбуждения.
- В плоском d-мерном пространстве конфигурация двух идентичных частиц описывается элементом M × M.
- Гомотопический класс непрерывных путей из (x, y) в (y, x) зависит от размерности пространства.
-
Статистика Бозе-Эйнштейна
- В случае d ≥ 3 гомотопический класс имеет только один элемент, что приводит к статистике Бозе.
- В случае d = 2 гомотопический класс имеет счетное число элементов, что приводит к анионной статистике.
- В случае d = 1 гомотопический класс пуст, что приводит к отсутствию симметрии взаимообмена.
-
Статистика Ферми-Дирака
- В случае d ≥ 3 универсальное покрывающее пространство имеет только две точки, что приводит к статистике Ферми.
- В случае d = 2 универсальное покрывающее пространство имеет бесконечно много точек, что приводит к взаимной статистике.
- В случае d = 1 универсальное покрывающее пространство не связано, что приводит к отсутствию симметрии взаимообмена.