Независимость (теория вероятности)

• Определение независимости случайных величин

  • Две случайные величины независимы, если их совместное распределение равно произведению их индивидуальных распределений. 
  • Независимость не зависит от порядка величин. 

• Примеры независимости

  • Бросание двух кубиков с гранями от 1 до 6: каждая из величин имеет равномерное распределение на своем множестве значений, поэтому они независимы. 
  • Бросание двух монет: каждая монета имеет равномерное распределение, поэтому они независимы. 

• Обобщение на случайные процессы

  • Независимость распространяется на стохастические процессы, где требуется независимость случайных величин, полученных в разные моменты времени. 

• Определение независимости для σ-алгебр

  • Две σ-алгебры считаются независимыми, если они независимы для всех подмножеств, порожденных этими событиями. 
  • Конечное и бесконечное семейства σ-алгебр считаются независимыми, если все их подсемейства независимы. 

• Связь с предыдущими определениями

  • Независимость в старом смысле эквивалентна независимости в новом смысле для событий. 
  • Независимость в старом смысле эквивалентна независимости порождаемых ими σ-алгебр в новом смысле. 

• Свойства независимости

  • Событие является независимым от самого себя, если оно почти наверняка происходит или его дополнение почти наверняка происходит. 
  • Математическое ожидание и ковариация независимых случайных величин равны нулю. 
  • Независимость и некоррелированность случайных процессов не эквивалентны. 

• Характеристическая функция и субзависимость

  • Две случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их характеристическая функция удовлетворяет определенному условию. 
  • Случайные величины, удовлетворяющие условию, называются субзависимыми. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.