Оглавление [Скрыть]
Нулевая полугруппа
-
Определение нильполугруппы
- Нильполугруппа — это полугруппа, каждый элемент которой нильпотентен.
- Формально, полугруппа S является нулевой полугруппой, если содержит 0 и для каждого элемента a существует целое положительное число k, такое что ak=0.
-
Конечные нулевые полугруппы
- Конечная полугруппа S является нильпотентной, если для каждого x1, …, xn и y1, …, yn из S выполняется x1…xn=y1…yn.
- Ноль является единственным идемпотентом S.
-
Примеры нильполугрупп
- Тривиальная полугруппа из одного элемента является нулевой полугруппой.
- Множество строго верхних треугольных матриц с матричным умножением является нильпотентным.
- Полугруппа ⟨I, ⋆n⟩, где I — ограниченный интервал положительных действительных чисел, является нулевой полугруппой с нулем, равным n.
-
Свойства нильполугрупп
- Нетривиальная нулевая полугруппа не содержит элемента identity.
- Единственным нильпотентным моноидом является тривиальный моноид.
- Класс нулевых полугрупп закрыт при взятии подгруппы, с учетом коэффициентов и конечных произведениях, но не замыкается при произвольном прямом произведении.
-
Многообразие конечных нильс-полугрупп
- Множество конечных нильс-полугрупп является многообразием конечных полугрупп.
- Многообразие определяется проконечными равенствами xωy=xω=yxω.