Оглавление
- 1 Объем n-образного шара
- 1.1 Определение шара и n-мерного шара
- 1.2 Формулы для объема n-мерного шара
- 1.3 Рекуррентные соотношения
- 1.4 Аппроксимации и асимптотики
- 1.5 Связь с площадью поверхности
- 1.6 Доказательства формул
- 1.7 Уравнение пропорциональности для площади поверхности сферы
- 1.8 Геометрическое доказательство
- 1.9 Шарики в нормах Lp
- 1.10 Связь с площадью поверхности
- 1.11 Обобщения
- 1.12 Сравнение с нормой Ад
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Объем н-шара
Объем n-образного шара
-
Определение шара и n-мерного шара
- Шар – область в пространстве, окруженная сферой или гиперсферой.
- N-мерный шар – шар в n-мерном евклидовом пространстве.
- Объем n-мерного шара – мера Лебега для этого шара.
-
Формулы для объема n-мерного шара
- Объем n-мерного шара равен RnVn, где Vn – объем единичного n-мерного шара.
- Vn может быть выражен через гамма-функцию, факториал или двойной факториал.
- Объем также может быть выражен через площадь единичной n-сферы.
-
Рекуррентные соотношения
- Объем может быть вычислен через двумерное рекуррентное соотношение.
- Объем может быть выражен через одномерное рекуррентное соотношение.
- Радиус n-шара может быть выражен через радиус (n-2)-шара.
-
Аппроксимации и асимптотики
- Приближение Стирлинга для гамма-функции используется для аппроксимации объема.
- Объем стремится к предельному значению 0 при n → ∞.
- Существует асимптотическая формула для площади поверхности.
-
Связь с площадью поверхности
- Площадь поверхности n-мерного шара связана с объемом через сверхобъемность (n-1)-сферы.
- Существуют формулы для площади поверхности в терминах факториалов и двойных факториалов.
-
Доказательства формул
- Объем пропорционален n-й степени радиуса.
- Формула двумерной рекурсии доказывается через интегрирование в цилиндрических координатах.
- Формула одномерной рекурсии доказывается через бета-функцию.
- Объем может быть вычислен через прямое интегрирование в сферических координатах.
- Формула объема может быть доказана через интегралы Гаусса.
-
Уравнение пропорциональности для площади поверхности сферы
- Площадь поверхности сферы пропорциональна объему шара.
- Площадь поверхности (n-1)-сферы радиуса r равна An−1(r).
- Объем n-шара радиуса R равен RnAn−1(R).
-
Геометрическое доказательство
- Объем n-шара пропорционален Rn.
- Площадь поверхности n-сферы равна dV/dR.
- Объем n+1-шара равен Rn+1An(R).
- Площадь поверхности n+1-сферы равна (2πR)Vn(R).
-
Шарики в нормах Lp
- Объем шара Lp радиуса R равен RnAn−1p(R).
- Объем удовлетворяет рекуррентным соотношениям.
- При p = 2 восстанавливается повторяемость для объема евклидова шара.
-
Связь с площадью поверхности
- Площадь поверхности Lp-сферы не может быть вычислена дифференцированием объема.
- Для p = 2 и p = ∞ поправочный коэффициент равен единице.
- Для p = 1 поправочный коэффициент равен √n.
-
Обобщения
- Формула объема может быть обобщена для шаров с различными радиусами.
- Объем шара (p1, …, pn) известен со времен Дирихле.
-
Сравнение с нормой Ад
- Используя среднее гармоническое значение p, становится очевидным сходство с формулой объема для шара Lp.