Обоснованные отношения

• Определение обоснованности отношений

  • Отношение R должно быть транзитивным для всех a, b, c. 
  • Обоснованное отношение имеет минимальный элемент для каждого непустого подмножества. 
  • Эквивалентно, отношение не содержит бесконечных нисходящих цепочек. 

• Применение обоснованности в математике

  • Обоснованные отношения используются для индукции и рекурсии. 
  • Трансфинитная индукция и рекурсия возможны благодаря обоснованности. 
  • Обоснованность важна для аксиомы регулярности в теории множеств. 

• Примеры обоснованных отношений

  • Целые положительные числа упорядочены по делению и делимости. 
  • Строки упорядочены по вхождению в них подстроки. 
  • Пары натуральных чисел упорядочены по сумме и разности. 

• Примеры не обоснованных отношений

  • Целые отрицательные числа не имеют минимального элемента. 
  • Строки с более чем одним элементом не имеют минимального элемента. 
  • Множество рациональных чисел не имеет минимального элемента. 

• Дополнительные свойства обоснованности

  • Рефлексивность может привести к бесконечным нисходящим цепочкам. 
  • При работе с частичным порядком обычно используется альтернативное отношение <. 

• Рекомендации по литературе

  • Джаст, Винфрид и Уиз (1998) описывают современную теорию множеств. 
  • Хрбачек и Йех (1999) вводят теорию множеств, включая главу о обоснованных отношениях.