Обратимая матрица

• Определение и свойства обратной матрицы

  • Обратная матрица A−1 является матрицей, которая при умножении на A дает I. 
  • A−1 является уникальной, если A обратима, и может быть найдена с помощью различных методов. 

• Методы вычисления обратной матрицы

  • Метод Гаусса-Джордана является популярным методом, который требует последовательного исключения элементов. 
  • Метод Ньютона может быть полезен для нахождения обратной матрицы, если есть подходящая начальная точка. 
  • Метод Кэли-Гамильтона позволяет выразить обратную матрицу через определитель и следы. 
  • Собственное разложение матрицы позволяет определить ее обратимость и инверсию, если собственные значения не равны нулю. 
  • Разложение Холецкого полезно для положительно определенных матриц. 
  • Аналитическое решение может быть эффективным для небольших матриц. 

• Инверсия матриц разных размеров

  • Для матриц 2×2 и 3×3 существуют простые формулы для инверсии. 
  • Для матриц 4×4 метод Кэли-Гамильтона приводит к сложному, но все еще поддающемуся обработке выражению. 

• Последовательная инверсия

  • Матрицы можно инвертировать по блокам, что особенно выгодно для диагональных матриц и небольших дополнений Шура. 
  • Теорема о недействительности утверждает, что значения подблоков в правом нижнем и правом верхнем углах обратной матрицы равны соответствующим значениям исходной матрицы. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.