Обычный кардинал
-
Определение и свойства кардиналов
- Кардиналы — это мощности бесконечных множеств.
- Алеф-нуль — это первый кардинал, обозначаемый как
- ω
- {\displaystyle \omega }
- .
- Алеф-один — это следующий кардинал, обозначаемый как
- ℵ
- 0
- {\displaystyle \aleph _{0}}
- Кардиналы могут быть регулярными или сингулярными.
- Регулярные кардиналы имеют предельный порядковый номер, который является пределом последовательности ординалов.
- Сингулярные кардиналы не имеют предельного порядкового номера и могут быть записаны как предел последовательности ординалов, где каждый элемент меньше следующего.
-
Примеры и аксиомы
- Примеры включают ординалы меньше
- и кардиналы меньше
- 1
- {\displaystyle \aleph _{1}}
- Аксиома выбора утверждает, что каждый кардинал-преемник является регулярным.
- Без аксиомы выбора некоторые кардиналы не могут быть хорошо упорядочены.
-
Бесконечные кардиналы и их свойства
- Бесконечные кардиналы могут быть регулярными или сингулярными, и их существование зависит от аксиомы выбора.
- Бесконечные кардиналы, такие как
- {\displaystyle \алеф _ _BOS_\омега }}
- , являются предельными порядковыми номерами и могут быть единственными.
- Если аксиома выбора верна, каждый кардинал-преемник является регулярным.
-
Недоступные кардиналы
- Недоступные кардиналы — это регулярные кардиналы, которые являются фиксированными точками функции алеф.
- Их существование не может быть доказано без аксиомы замены.
- Некоторые фиксированные точки функции алеф являются предельными порядковыми номерами, но не все предельные порядковые номера являются фиксированными точками.
-
Следствия и рекомендации
- В статье обсуждаются свойства кардиналов и их связь с аксиомами теории множеств.
- Ссылки на книги Герберта Б. Эндертона и Кеннета Кунена для более подробного изучения теории множеств.