Поддерживающая гиперплоскость

• Определение опорной гиперплоскости

  • Опорная гиперплоскость — это гиперплоскость, которая полностью содержится в одном из замкнутых полупространств и имеет граничную точку на ней. 

• Теорема о гиперплоскости

  • Если множество S является выпуклым и имеет граничную точку x0, то существует опорная гиперплоскость, содержащая x0. 
  • Если x∗ является ненулевым линейным функционалом, который удовлетворяет условию x∗(x0) ≥ x∗(x) для всех x ∈ S, то x∗ определяет опорную гиперплоскость. 
  • Если замкнутое множество S не является выпуклым, то утверждение теоремы может быть неверным. 

• Связь с разделяющей гиперплоскостью

  • Прямое направление теоремы о гиперплоскости является частным случаем теоремы о разделяющей гиперплоскости. 

• Доказательство обратного утверждения

  • Пусть T — пересечение всех замкнутых полупространств, содержащих S. 
  • Доказывается, что если y не принадлежит T, то y не принадлежит и пересечению всех замкнутых полупространств, поддерживающих S. 
  • Для доказательства используется метод, основанный на линейном функционале f, который удовлетворяет условию f(x) > f(b) для всех x ∈ int(S) и f(y) < f(b) для всех y ∈ Rn.