Откат (теория категорий)
-
Определение отката
- Откат (волокнистое произведение) — предел диаграммы из двух морфизмов f: X → Z и g: Y → Z.
- Откат оснащен двумя естественными морфизмами P → X и P → Y.
- Откат не обязательно существует, но если существует, то однозначно определяется f и g.
-
Универсальное свойство
- Откат является универсальным по отношению к диаграмме.
- Для любой другой тройки (Q, q1, q2) с f q1 = g q2 существует уникальный u: Q → P.
-
Откат и продукт
- Откат аналогичен продукту, но не тот же самый.
- Можно “забыть” о f и g и Z, получив дискретную категорию с двумя объектами X и Y.
- Откат можно рассматривать как обычное произведение, но с дополнительной структурой.
-
Примеры
- В коммутативных кольцах откат называется расслоенным произведением.
- В группах и модулях откаты существуют.
- В множествах откат функций всегда существует и задается множеством.
- В графиках функций откат f и функции тождества на Y равен графику f.
- В теории расслоений откат — обратный пучок.
- В прообразах множеств откат f и мономорфизма g — прообраз под f подобъекта.
- В мультипликативном моноиде откат двух натуральных чисел — пара их наименьших общих кратных.
-
Свойства
- В категории с конечным объектом откат равен обычному произведению.
- Мономорфизмы и изоморфизмы устойчивы при откате.
- В абелевой категории существуют все откаты и они сохраняют ядра.
- В любой категории с откатами и продуктами есть эквалайзеры.
-
Слабые откаты
- Слабый откат коспана — конус над коспаном, который является слабо универсальным.
-
Стили и форматирование
- Использование наследования шрифта и переноса слов
- Применение различных котировок и фоновых цветов
- Использование идентификаторов для различных типов блокировок
-
Значки и логотипы
- Применение значков и логотипов для различных типов блокировок
- Использование значков и логотипов для Викимедиа
-
Корпусные и внешние ссылки
- Применение различных стилей для различных типов ссылок
- Использование внешних ссылок для интерактивных веб-страниц
-
Библиографическое описание
- Указание автора и названия книги
- Указание издательства и года публикации
-
Дополнительные ресурсы
- Интерактивная веб-страница для генерации примеров откатов
- Автор сценария: Джослин Пейн
- Откат в лаборатории nLab