Оглавление [Скрыть]
Коммутаторное подпространство
-
Определение коммутаторного подпространства
- Коммутаторное подпространство двустороннего идеала ограниченных линейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве — это линейное подпространство, охватываемое коммутаторами операторов в идеале.
- Обозначается Com(J) или [B(H),J].
-
Спектральная характеристика
- Соответствие Калкина утверждает, что компактный оператор принадлежит идеалу тогда и только тогда, когда его сингулярные значения принадлежат пространству последовательностей Калкина.
- Нормальные операторы в коммутаторном подпространстве могут быть охарактеризованы как операторы с сингулярными значениями в пространстве последовательностей Калкина и средним значением Чезаро в этом пространстве.
- Для произвольных (ненормальных) операторов существует спектральная характеристика при условии, что последовательности собственных значений всех операторов в идеале принадлежат пространству последовательностей Калкина.
-
Последствия характеристики
- Каждый оператор в идеале является суммой коммутаторов тогда и только тогда, когда пространство последовательностей Калкина инвариантно относительно средних Чезаро.
- Разница между положительным оператором и его диагонализацией равна сумме коммутаторов.
- Разница между произвольным оператором и его диагонализацией также равна сумме коммутаторов.
- Каждый квазинильпотентный оператор в идеале, удовлетворяющем условию, является суммой коммутаторов.
-
Применение к трассировкам
- След на двустороннем идеале исчезает в коммутаторном подпространстве.
- Двусторонний идеал имеет ненулевой след тогда и только тогда, когда среднее значение Чезаро принадлежит пространству последовательностей Калкина.
- Следы на идеалах находятся в прямом соответствии с симметричными функционалами на пространствах последовательностей.
-
Примеры
- Компактные операторы соответствуют пространству сходящихся к нулю последовательностей.
- Операторы конечного ранга соответствуют пространству последовательностей с конечными ненулевыми членами.
- Операторы класса трассировки соответствуют суммируемым последовательностям.
- Операторы класса слабой трассировки соответствуют пространству последовательностей weak-l1.
- Гармоническая последовательность принадлежит l1,∞, но её средние значения Cesàro не принадлежат l1,∞.