Оглавление
- 1 Показатель Ляпунова
- 1.1 Определение показателя Ляпунова
- 1.2 Спектр показателей Ляпунова
- 1.3 Определение максимального показателя Ляпунова
- 1.4 Определение спектра Ляпунова
- 1.5 Показатель Ляпунова для изменяющейся во времени линеаризации
- 1.6 Эффекты Перрона
- 1.7 Основные свойства
- 1.8 Значение спектра Ляпунова
- 1.9 Численный расчет
- 1.10 Трудности применения методов Ляпунова
- 1.11 Использование нелинейных отображений
- 1.12 Локальный показатель Ляпунова
- 1.13 Условный показатель Ляпунова
- 1.14 Теория хаоса и программное обеспечение
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Показатель Ляпунова
Показатель Ляпунова
-
Определение показателя Ляпунова
- Показатель Ляпунова характеризует скорость разделения бесконечно близких траекторий.
- Две траектории с начальным вектором разделения δ0 отклоняются со скоростью, заданной |δ(t)| ≈ eλt|δ0|.
- Наибольший показатель Ляпунова (MLE) определяет предсказуемость системы.
-
Спектр показателей Ляпунова
- Существует спектр показателей Ляпунова, число которых равно размерности фазового пространства.
- MLE определяет предсказуемость системы, положительный MLE указывает на хаос.
- Произвольный начальный вектор разделения содержит составляющую в направлении MLE.
-
Определение максимального показателя Ляпунова
- MLE определяется как предел ln|δ(t)|/|δ0| при |δ0| → 0.
- Для дискретных систем MLE определяется как предел суммы ln|f'(x)|.
-
Определение спектра Ляпунова
- Спектр показателей Ляпунова зависит от начальной точки, но связан с аттрактором системы.
- Показатели определяются из матрицы Якоби, описывающей эволюцию касательных векторов.
-
Показатель Ляпунова для изменяющейся во времени линеаризации
- Наибольший показатель Ляпунова определяется как максимум ln|αj(X(t))|.
- Ляпунов доказал, что отрицательный MLE указывает на асимптотическую устойчивость.
-
Эффекты Перрона
- Перрон построил примеры, где первое приближение имеет отрицательные показатели Ляпунова, но нулевое решение исходной системы неустойчиво.
- Эффект Перрона показывает, что отрицательный MLE не всегда указывает на стабильность.
-
Основные свойства
- Сумма показателей Ляпунова равна нулю для консервативных систем, отрицательна для диссипативных.
- Для потоков один показатель всегда равен нулю.
-
Значение спектра Ляпунова
- Спектр Ляпунова используется для оценки энтропии, фрактальной и хаусдорфовой размерности.
- Размерность Ляпунова (DKY) определяется как сумма показателей Ляпунова.
-
Численный расчет
- Вычисление показателей Ляпунова обычно выполняется численно.
- Наиболее часто используемый метод основан на усреднении конечных временных приближений.
- Описаны спектры Ляпунова различных моделей и представлены исходные коды.
-
Трудности применения методов Ляпунова
- Данные не полностью исследуют фазовое пространство
- Аттрактор имеет ограниченную протяженность в определенных направлениях
- Более тонкие направления связаны с более отрицательными показателями
-
Использование нелинейных отображений
- Улучшает восстановление спектра Ляпунова при низком уровне шума
- Исследована исключительная природа данных и их связь с негативными показателями
-
Локальный показатель Ляпунова
- Мера локальной предсказуемости вокруг точки x0
- Используется матрица Якоби J0 (x0)
- Локальные показатели не инвариантны при нелинейном изменении координат
-
Условный показатель Ляпунова
- Используется в синхронизации хаоса
- Условные показатели системы реагирования
- Синхронизация происходит при отрицательных условных показателях
-
Теория хаоса и программное обеспечение
- Теория хаоса включает хаотическое смешивание и гипотезу Идена
- Программное обеспечение для вычисления показателей Ляпунова
- LyapOde и Lyap для различных типов данных
- LyapOde включает исходный код на “C” и может вычислять условные показатели
- Lyap включает исходный код на Fortran и может характеризовать сингулярность аттрактора
- Программное обеспечение работает в текстовом окне и генерирует выходные файлы