Оглавление
- 1 Многочлен Шура
- 1.1 Определение и свойства многочленов Шура
- 1.2 Двухальтернативная формула Якоби
- 1.3 Свойства многочленов Шура
- 1.4 Тождества Якоби и Труди
- 1.5 Личность Джамбелли
- 1.6 Дальнейшие идентификации
- 1.7 Специализации и примеры
- 1.8 Отношение к теории представлений
- 1.9 Символы представления симметричной группы
- 1.10 Целые числа θλρ
- 1.11 Положительность Шура
- 1.12 Методы доказательства положительности Шура
- 1.13 Обобщения
- 1.14 Другие обобщения
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Полином Шура
Многочлен Шура
-
Определение и свойства многочленов Шура
- Многочлены Шура индексируются разбиениями и обобщают элементарные симметричные многочлены.
- Они образуют линейный базис для пространства симметричных многочленов.
- Произведение многочленов Шура можно записать как линейную комбинацию с неотрицательными целыми коэффициентами.
-
Двухальтернативная формула Якоби
- Многочлены Шура определяются как отношение определителей Вандермонда.
- Это частный случай символьной формулы Вейля.
- Многочлены Шура являются симметричными функциями и многочленами.
-
Свойства многочленов Шура
- Многочлены Шура степени d от n переменных являются линейным базисом для однородных симметричных многочленов степени d.
- Для разбиения λ многочлен Шура представляет собой сумму одночленов по полустандартным таблицам Юнга.
- Многочлены Шура могут быть выражены через числа Костки.
-
Тождества Якоби и Труди
- Первая формула Якоби-Труди выражает многочлен Шура через полные однородные симметричные многочлены.
- Вторая формула Якоби-Труди выражает многочлен Шура через элементарные симметричные многочлены.
-
Личность Джамбелли
- Формула Джамбелли выражает функцию Шура через функции для разбиений на крючки.
- Тождество Коши выражает функции Шура через полные и элементарные симметричные функции.
-
Дальнейшие идентификации
- Многочлен Шура можно вычислить через формулу Холла-Литтлвуда.
- Правило Мурнагана-Накаямы выражает произведение симметричной функции на многочлен Шура через многочлены Шура.
- Правило Литтлвуда-Ричардсона и формула Пьери описывают коэффициенты в линейной комбинации многочленов Шура.
-
Специализации и примеры
- Вычисление полинома Шура в (1, 1, …, 1) дает количество полустандартных таблиц Юнга.
- Пример с n = 3 и d = 4 показывает, что существует четыре многочлена Шура.
-
Отношение к теории представлений
- Многочлены Шура встречаются в теории представлений симметричных групп и общих линейных групп.
- Формула характера Вейля связывает многочлены Шура с конечномерными неприводимыми представлениями общих линейных групп.
-
Символы представления симметричной группы
- Символы представления симметричной группы индексируются разбиениями λ и ρ.
- Символы вычисляются в элементах типа цикла, индексируемых разбиением ρ.
-
Целые числа θλρ
- Целые числа θλρ можно вычислить с помощью правила Мурнагана–Накаямы.
-
Положительность Шура
- Симметричные функции, положительно расширяющиеся в функциях Шура, имеют особый интерес.
- Косые функции Шура положительно расширяются в обычных функциях Шура.
-
Методы доказательства положительности Шура
- Существует несколько подходов к доказательству положительности по Шуру.
- Прямой подход использует биекции с полустандартными таблицами Юнга.
- Биекция с кристаллами использует графовую структуру.
- Двойная эквивалентность использует графовую структуру для объектов, представляющих разложение в фундаментальном квазисимметричном базисе.
-
Обобщения
- Косые функции Шура зависят от двух разбиений λ и μ.
- Двойные многочлены Шура обобщают сдвинутые многочлены Шура.
- Факториальные многочлены Шура определяются с помощью дважды бесконечной последовательности.
-
Другие обобщения
- Существуют множество обобщений многочленов Шура, включая многочлены Холла–Литтлвуда и многочлены Гротендика.