Оглавление
Положительный оператор
-
Определение положительно-полуопределенных операторов
- Оператор A называется положительно-полуопределенным, если для всех x ∈ Dom(A) выполняется ⟨Ax, x⟩ ≥ 0.
- Оператор A называется положительно определенным, если ⟨Ax, x⟩ > 0 для всех x ∈ Dom(A) ∖ {0}.
-
Самосопряженность и симметрия
- В комплексном гильбертовом пространстве неотрицательность оператора A подразумевает его симметричность.
- В вещественном гильбертовом пространстве неотрицательность не всегда подразумевает симметричность.
-
Частичный порядок самосопряженных операторов
- Естественное частичное упорядочение самосопряженных операторов определяется как B ≥ A, если B − A ≥ 0.
-
Применение в физике: квантовые состояния
- Квантовая система определяется как сложное сепарабельное гильбертово пространство H и набор состояний S из положительных операторов класса трассировки ρ.
- Чистые состояния определяются как операторы проекции на единичный вектор ψ ∈ H.
- Смешанные состояния определяются как состояния, не являющиеся чистыми.