Полугрупповое действие

• Определение полугруппы

  • Полугруппа — это множество с бинарной операцией, удовлетворяющей ассоциативности и наличию нейтрального элемента. 
  • Полугруппы могут быть определены как множества с бинарной операцией, удовлетворяющей ассоциативности и наличию нейтрального элемента. 

• Примеры полугрупп

  • Множество целых чисел с операцией сложения является полугруппой. 
  • Множество натуральных чисел с операцией умножения также является полугруппой. 

• Свойства полугрупп

  • Полугруппы обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и наличием нейтрального элемента. 
  • Существуют полугруппы без нейтрального элемента, такие как множество целых чисел с операцией вычитания. 

• Действия полугрупп

  • Полугруппа действует на множестве, определяя операцию на множестве с элементами полугруппы. 
  • Полугруппа преобразований действует на множестве, определяя преобразование каждого элемента полугруппы на множестве. 

• Примеры действий полугрупп

  • Множество целых чисел с операцией сложения действует на множестве натуральных чисел. 
  • Множество натуральных чисел с операцией умножения действует на множестве целых чисел. 

• Полугрупповые гомоморфизмы

  • Полугрупповой гомоморфизм — это отображение, сохраняющее операции полугруппы. 
  • Множество всех полугрупповых гомоморфизмов образует категорию. 

• Примеры полугрупповых гомоморфизмов

  • Отображение, которое отображает целые числа в натуральные числа, является полугрупповым гомоморфизмом. 
  • Отображение, которое отображает натуральные числа в целые числа, также является полугрупповым гомоморфизмом. 

• S-гомоморфизмы и M-гомоморфизмы

  • S-гомоморфизм — это отображение, сохраняющее операции полугруппы S. 
  • M-гомоморфизм — это отображение, сохраняющее операции моноида M. 

• Примеры S-гомоморфизмов и M-гомоморфизмов

  • Отображение, которое отображает множество целых чисел в множество натуральных чисел, является S-гомоморфизмом. 
  • Отображение, которое отображает множество натуральных чисел в множество целых чисел, также является M-гомоморфизмом. 

• Категории S-Act и M-Act

  • Категории S-Act и M-Act описывают объекты и морфизмы полугрупп и моноидов соответственно. 

• Примеры категорий S-Act и M-Act

  • Категория S-Act описывает полугруппы, действующие на множестве. 
  • Категория M-Act описывает моноиды, действующие на множестве. 

• Полугруппы преобразований и их приложения

  • Полугруппы преобразований связаны с конечными автоматами и теорией Крона-Родса. 
  • Полуавтоматы являются примером полугрупп преобразований, где полугруппа порождается функциями перехода. 

• Рекомендации по литературе

  • Упомянуты книги по алгебраической теории полугрупп и моноидов, которые могут быть полезны для дальнейшего изучения.