Принцип единообразной ограниченности

• Принцип равномерной ограниченности

  • Принцип утверждает, что если последовательность операторов ограничена в пространстве, то она ограничена и в каждом пространстве. 
  • В банаховом пространстве, если последовательность операторов ограничена, то она сходится к оператору, который также ограничен. 

• Примеры применения принципа

  • В гильбертовом пространстве, если последовательность операторов ограничена, то она сходится к оператору, который также ограничен. 
  • В пространстве непрерывных функций на круге, если ряд Фурье не сходится поточечно, то его частичные суммы ограничены. 

• Доказательство принципа

  • Доказательство основано на использовании неравенства треугольника и неравенства Коши-Шварца для векторных пространств. 
  • В случае гильбертовых пространств, доказательство использует неравенство треугольника и неравенство Бесселя. 

• Следствия принципа

  • Принцип позволяет доказать сходимость последовательности операторов в различных пространствах. 
  • В гильбертовых пространствах, принцип позволяет доказать сходимость рядов Фурье. 
  • В пространствах непрерывных функций на круге, принцип позволяет доказать, что ряд Фурье не сходится поточечно. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.