Сопряженное представление

• Определение и свойства сопряженного представления

  • Сопряженное представление — это представление алгебры Ли группы Ли, обратное к собственному представлению. 
  • Сопряженное представление является линейным отображением, которое сохраняет структуру алгебры Ли. 
  • Сопряженное представление связано с оператором ad, который действует на векторах алгебры Ли. 

• Примеры и свойства

  • Если G — абелева группа, то сопряженное представление тривиально. 
  • Если G является матричной группой Ли, то сопряженное отображение задается через Adg(x) = gxg−1. 
  • В случае SL(2, R) сопряженное представление эквивалентно действию на квадратичные формы. 

• Свойства сопряженного отображения

  • Сопряженное отображение является линейным и сохраняет структуру алгебры Ли. 
  • Оператор ad также является линейным и сохраняет структуру алгебры Ли. 
  • Сопряженное отображение коммутирует с оператором ad. 

• Изображение G в сопряженном представлении

  • Сопряженное представление обозначается через Ad(G) и является образом сопряженного представления. 
  • Если G связно, то ядро сопряженного представления совпадает с центром G. 

• Корни полупростой группы Ли

  • В случае полупростой группы Ли ненулевые веса сопряженного представления образуют корневую систему. 
  • Для группы SL(n, R) корни определяются как собственные векторы диагональной части алгебры Ли. 

• Пример SL(2, R)

  • В примере SL(2, R) корни определяются как векторы вида ei−ej. 
  • Максимальный тор T группы SL(2, R) задается матрицами с определителем 1 и действует тривиально на диагональные элементы. 

• Варианты и аналоги

  • Сопряженное представление может быть определено для алгебраических групп над любым полем. 
  • Соприсоединенное представление является противоположным представлению сопряженного представления. 

• Орбитальный метод

  • Неприводимые представления группы Ли должны быть проиндексированы по ее сопрягаемым орбитам. 

• Смотрите также

  • Сопряженное расслоение — это расслоение алгебры Ли, связанное с основным расслоением. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.