Произведение подмножеств групп
-
Определение произведения подмножеств в группах
- Произведение подмножеств S и T в группе G является подмножеством, не обязательно являющимся подгруппой.
- Ассоциативность произведения вытекает из ассоциативности группового продукта.
-
Свойства произведения подгрупп
- Произведение двух подгрупп S и T является подгруппой, если ST = TS.
- Если S и T являются нормальными подгруппами, то ST также является нормальной подгруппой.
- Если S и T конечные подгруппы, то ST имеет размер |ST|.
-
Модулярный закон для групп
- Модулярный закон справедлив для любых подгрупп S и T, где Q – произвольная подгруппа S.
- Если QT является подгруппой, то QT = ⟨Q ∪ T⟩.
- Нормальные подгруппы образуют модульную подрешетку в решетке подгрупп.
-
Произведение подгрупп с тривиальным пересечением
- Если S и T пересекаются только по тождеству, то ST является группой Заппы-Сепа.
- Если S и T коммутируют, то ST является прямым произведением S и T.
- Если S и T нормальны в ST, то ST является полупрямым произведением S и T.
-
Произведение подгрупп с нетривиальным пересечением
- Структура частного NK/N не всегда равна K, а изоморфна K/(N∈K).
- Существует произведение подгрупп, даже если пересечение не тривиально.
-
Обобщение на полугруппы
- В полугруппе произведение двух подмножеств определяет структуру полугруппы на множестве степеней полугруппы.
-
Ссылки
- Центральный продукт
- Двойной соседний класс
Полный текст статьи: