Произведение подмножеств групп

• Определение произведения подмножеств в группах

  • Произведение подмножеств S и T в группе G является подмножеством, не обязательно являющимся подгруппой. 
  • Ассоциативность произведения вытекает из ассоциативности группового продукта. 

• Свойства произведения подгрупп

  • Произведение двух подгрупп S и T является подгруппой, если ST = TS. 
  • Если S и T являются нормальными подгруппами, то ST также является нормальной подгруппой. 
  • Если S и T конечные подгруппы, то ST имеет размер |ST|. 

• Модулярный закон для групп

  • Модулярный закон справедлив для любых подгрупп S и T, где Q — произвольная подгруппа S. 
  • Если QT является подгруппой, то QT = ⟨Q ∪ T⟩. 
  • Нормальные подгруппы образуют модульную подрешетку в решетке подгрупп. 

• Произведение подгрупп с тривиальным пересечением

  • Если S и T пересекаются только по тождеству, то ST является группой Заппы-Сепа. 
  • Если S и T коммутируют, то ST является прямым произведением S и T. 
  • Если S и T нормальны в ST, то ST является полупрямым произведением S и T. 

• Произведение подгрупп с нетривиальным пересечением

  • Структура частного NK/N не всегда равна K, а изоморфна K/(N∈K). 
  • Существует произведение подгрупп, даже если пересечение не тривиально. 

• Обобщение на полугруппы

  • В полугруппе произведение двух подмножеств определяет структуру полугруппы на множестве степеней полугруппы. 

• Ссылки

  • Центральный продукт 
  • Двойной соседний класс