Распределение по полукругу Вигнера
-
Определение и свойства
- Полукруглое распределение Вигнера определено в области [−R, R] и имеет функцию плотности вероятности в виде полукруга.
- Параметр R называется радиусом распределения.
- Распределение возникает как предельное распределение собственных значений симметричных матриц.
-
Моменты и преобразования
- Все моменты нечетного порядка равны нулю.
- Второй момент равен R2≈4, четвертый момент равен R4≈8.
- Преобразование Стилтьеса задается формулой для комплексных чисел z с положительной мнимой частью.
-
Связь с бета-распределением
- Распределение Вигнера совпадает с масштабированным и сдвинутым бета-распределением.
- Многочлены Чебышева второго рода ортогональны относительно распределения Вигнера радиуса 1.
-
Характеристическая функция и функция создания момента
- Характеристическая функция определяется через бета-переменную Y.
- Функция создания момента вычисляется через модифицированную функцию Бесселя первого рода.
-
Отношение к свободной вероятности
- В теории свободных вероятностей распределение Вигнера аналогично нормальному распределению.
- Свободные кумулянты распределения Вигнера равны нулю тогда и только тогда, когда распределение является полукруглым.
-
Дополнительные сведения
- Распределение Вигнера является пределом распределений Кестена–Маккея при d → ∞.
- В теории чисел распределение Вигнера иногда называют распределением Сато-Тейта.