Расширение Фридрихса
-
Расширение Фридрихса
- Каноническое самосопряженное расширение неотрицательного плотно определенного симметричного оператора
- Названо в честь математика Курта Фридрихса
- Полезно в ситуациях, когда оператор не является по существу самосопряженным или его существенную самосопряженность трудно показать
-
Примеры неотрицательных операторов
- Умножение на неотрицательную функцию в L2 является неотрицательным самосопряженным оператором
- Дифференциальные операторы на L2(U) с неотрицательными полуопределенными матрицами являются неотрицательными
-
Определение расширения Фридрихса
- Основано на теории замкнутых положительных форм в гильбертовых пространствах
- Q определяет внутреннее произведение на dom T
- H1 — завершение dom T относительно Q
-
Каноническое включение и теорема Рисса
- Каноническое включение H1 → H
- Оператор A = (LL∗)−1 является неотрицательным самосопряженным и расширяет T
-
Теорема Крейна
- M. G. Крейн дал характеристику неотрицательных самосопряженных расширений
- Существуют уникальные самосопряженные расширения Tmin и Tmax для любого неотрицательного симметричного оператора T
- Каждое неотрицательное самосопряженное продолжение S из T находится между Tmin и Tmax