Оглавление
Riemannian geometry
-
История и основные понятия
- Riemannian геометрия изучает гладкие многообразия с римановой метрикой.
- Основана Бернхардом Риманом в 19 веке.
- Включает локальные понятия угла, длины, площади и объема.
-
Развитие и применение
- Синтез результатов геометрии поверхностей и поведения геодезических.
- Вклад в общую теорию относительности, теорию групп и топологию.
- Аналогия с математической структурой дефектов в кристаллах.
-
Основные теоремы
- Gauss–Bonnet theorem: интеграл кривизны равен 2πχ(M).
- Nash embedding theorems: любое многообразие можно изометрически встроить в евклидово пространство.
- Sphere theorem: компактное многообразие с ограниченной кривизной диффеоморфно сфере.
- Cheeger’s finiteness theorem: конечное число многообразий с заданными кривизной, диаметром и объемом.
- Gromov’s almost flat manifolds: конечное покрытие многообразия с ограниченной кривизной диффеоморфно ниль-многообразию.
- Cheeger–Gromoll’s soul theorem: некомпактное многообразие с положительной кривизной содержит компактное подмногообразие.
- Gromov’s Betti number theorem: сумма Betti чисел компактного многообразия с положительной кривизной ограничена.
- Grove–Petersen’s finiteness theorem: конечное число гомотопных типов многообразий с заданной кривизной, диаметром и объемом.
-
Другие теоремы
- Cartan–Hadamard theorem: полное просто связное многообразие с неположительной кривизной диффеоморфно евклидову пространству.
- Myers theorem: полное многообразие с положительной кривизной имеет конечную фундаментальную группу.
- Bochner’s formula: первое Betti число компактного многообразия с неотрицательной кривизной не более n.
- Bishop–Gromov inequality: объем метрического шара в многообразии с положительной кривизной не больше объема шара в евклидовом пространстве.
- Gromov’s compactness theorem: множество многообразий с положительной кривизной и диаметром не более D предкомпактно.
- Negative Ricci curvature: группа изометрии компактного многообразия с отрицательной кривизной дискретна.
- Positive scalar curvature: n-мерный тор не допускает метрику с положительной скалярной кривизной.