Оглавление
Самолет Мура
-
Определение плоскости Мура
- Плоскость Мура (также известная как плоскость Нимицкого) — это топологическое пространство, названное в честь Роберта Ли Мура и Виктора Владимировича Немицкого.
- Это совершенно правильное хаусдорфово пространство, которое не является нормальным.
- Плоскость Мура не поддается метризации.
-
Топология плоскости Мура
- Топология плоскости Мура определяется на основе местной основы, состоящей из открытых дисков в плоскости.
- Элементы местной основы в точках с y > 0 — это открытые диски, достаточно малые, чтобы находиться внутри плоскости.
- Элементы местной основы в точках p = (x, 0) — это множества {p} ∪ A, где A — открытый диск в верхней полуплоскости, касательной к оси x в точке p.
-
Свойства плоскости Мура
- Плоскость Мура является отделимым пространством, имеющим счетное плотное подмножество.
- Плоскость Мура не является нормальным, так как подпространство {(x, 0) ∈ Γ | x ∈ R} имеет дискретную топологию.
- Плоскость Мура является первой счетной, но не второй счетной или Линделефовой.
- Плоскость Мура не является локально компактной и счетно-метакомпактной, но не метакомпактной.
-
Доказательство ненормальности плоскости Мура
- Счетное множество S из точек с рациональными координатами плотно в плоскости Мура.
- Каждая непрерывная функция на плоскости Мура определяется его ограничением на S.
- Реальная линия L является замкнутым дискретным подпространством с 2ℵ0 моментами.
- Существует 2ℵ0 непрерывных функций от L до R, которые не могут быть расширены до непрерывных функций на плоскости Мура.
-
Дополнительные сведения
- Пространство ежа также является примером топологического пространства, не поддающегося метризации.