Сферические гармоники

• Определение и свойства сферических гармоник

  • Сферические гармоники — это функции, которые являются решениями дифференциального уравнения Лапласа в сферических координатах. 
  • Они имеют вид Yℓm(θ, φ) и являются линейными комбинациями тригонометрических функций и многочленов Лежандра. 
  • Сферические гармоники имеют определенные свойства, такие как ортогональность и полнота в пространстве L2. 

• Применение сферических гармоник

  • Они используются в различных областях, включая астрономию, физику и квантовую механику. 
  • В астрономии они применяются для описания распределения звезд в галактиках и для изучения структуры галактик. 
  • В физике они важны для описания электромагнитных полей и для решения задач о движении частиц. 
  • В квантовой механике они связаны с орбитальным угловым моментом и являются собственными функциями оператора L2. 

• Решение уравнения Лапласа

  • Общее решение уравнения Лапласа в шаре с центром в начале координат представляет собой линейную комбинацию сферических гармонических функций с соответствующими коэффициентами. 
  • Для больших радиусов используются регулярные сплошные гармоники, а для больших радиусов — нерегулярные сплошные гармоники. 

• Орбитальный угловой момент в квантовой механике

  • Сферические гармоники Лапласа в квантовой механике связаны с орбитальным угловым моментом и являются собственными функциями оператора L2. 
  • Они также являются совместными собственными функциями генератора вращений вокруг азимутальной оси. 
  • Операторы L2 и Lz коммутируют и являются плотно определенными самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.