Оглавление
- 1 Симметрия (геометрия)
- 1.1 Симметрия в геометрии
- 1.2 Евклидовы симметрии
- 1.3 Отражательная симметрия
- 1.4 Точечное отражение и другие инволютивные изометрии
- 1.5 Вращательная симметрия
- 1.6 Поступательная симметрия
- 1.7 Симметрия отражения при скольжении
- 1.8 Симметрия вращательного отражения
- 1.9 Спиральная симметрия
- 1.10 Бесконечная спиральная симметрия
- 1.11 n-кратная спиральная симметрия
- 1.12 Неповторяющаяся спиральная симметрия
- 1.13 Симметрия двойного вращения
- 1.14 Неизометрические симметрии
- 1.15 Масштабная симметрия и фракталы
- 1.16 Абстрактная симметрия
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Симметрия (геометрия)
Симметрия (геометрия)
-
Симметрия в геометрии
- Объект обладает симметрией, если его форма остается неизменной при преобразованиях.
- Симметрия может быть вращательной, отражательной, поступательной и другими.
-
Евклидовы симметрии
- Евклидовы симметрии включают изометрии, которые сохраняют расстояние.
- Изометрии состоят из отражений, поворотов и перемещений.
-
Отражательная симметрия
- Отражательная симметрия (линейная симметрия) возникает при отражении относительно линии или плоскости.
- В двух измерениях существует ось симметрии, в трех измерениях — плоскость симметрии.
- Треугольники с симметрией отражения являются равнобедренными, четырехугольники — воздушными змеями и трапециями.
-
Точечное отражение и другие инволютивные изометрии
- Точечное отражение — это отражение вдоль (m−k)-мерного аффинного подпространства.
- В трех измерениях точечное отражение изменяет ориентацию пространства.
- Антиподальная симметрия — это симметрия отражения точки от начала координат.
-
Вращательная симметрия
- Вращательная симметрия — это симметрия относительно вращений в m-мерном евклидовом пространстве.
- Группа симметрии вращения — это подгруппа специальной евклидовой группы E+(m).
- Вращения образуют специальную ортогональную группу SO(m).
-
Поступательная симметрия
- Поступательная симметрия делает объект инвариантным относительно перемещений.
- Группа симметрии включает дискретные и непрерывные перемещения.
-
Симметрия отражения при скольжении
- В 2D симметрия скользящего отражения означает отражение в линии или плоскости с перемещением вдоль линии или плоскости.
- Группа симметрии, включающая скользящие отражения, называется группой фриза p11g.
-
Симметрия вращательного отражения
- В 3D вращательное отражение — это вращение вокруг оси с отражением в плоскости, перпендикулярной оси.
- Группы симметрии включают S2n и Cnh.
-
Спиральная симметрия
- Спиральная симметрия возникает при комбинации вращения и перемещения вдоль оси вращения.
- Угол намотки определяет свойства прослеживаемой спирали.
- Можно выделить три основных класса спиральной симметрии.
-
Бесконечная спиральная симметрия
- Объект обладает бесконечной симметрией, если при любом повороте вокруг оси существует точка, где объект выглядит одинаково.
- Примеры: равномерно скрученные пружины, зажимы, сверла и шнеки.
-
n-кратная спиральная симметрия
- Поперечное сечение может изменяться, но регулярно повторяться вдоль оси.
- Угол поворота θ должен быть кратным 360°.
- Пример: двойная спираль.
-
Неповторяющаяся спиральная симметрия
- Угол поворота θ иррационален и не повторяется.
- Пример: ДНК с 10,5 парами оснований на виток.
-
Симметрия двойного вращения
- Создается как совокупность двух ортогональных вращений.
- Пример: трехмерная ось винта.
-
Неизометрические симметрии
- Включают гомотетию, самоподобие и наклонное отражение.
- Примеры: группа преобразований подобия, группа аффинных преобразований с определителем 1 или -1, группа всех биективных аффинных преобразований, группа преобразований Мебиуса.
-
Масштабная симметрия и фракталы
- Объект сохраняет свойства при увеличении или уменьшении.
- Примеры: кучевые облака, молнии, папоротники, береговые линии.
- Фракталы сохраняют сложность при любом увеличении.
-
Абстрактная симметрия
- Феликс Кляйн связывал геометрии с группами симметрий.
- Уильям Терстон представил геометрию модели с транзитивным действием группы Ли.
- Терстон классифицировал 8 типовых геометрий.