Симметрия в квантовой механике

• Основы квантовой механики

  • Квантовая механика — это теория, описывающая поведение частиц на микроскопическом уровне. 
  • Она основана на принципе неопределенности Гейзенберга и квантовой теории поля. 
  • Квантовые состояния описываются волновой функцией, которая может быть представлена в виде вектора в гильбертовом пространстве. 

• Операторы в квантовой механике

  • Операторы в квантовой механике — это математические операторы, которые действуют на волновую функцию и изменяют ее. 
  • Они могут быть определены как линейные операторы, сохраняющие правило композиции. 
  • Существуют операторы перемещения, вращения и эволюции во времени. 

• Перемещение и вращение

  • Оператор перемещения переводит волновую функцию в пространстве, а оператор вращения изменяет пространственные координаты на угол. 
  • Они связаны с операторами импульса и углового момента соответственно. 
  • Пространственные и временные преобразования коммутируют, что означает, что они могут быть объединены в один оператор. 

• Генераторы и представления группы

  • Группа операторов, описывающих физические преобразования, может быть представлена в виде матрицы. 
  • Матрицы могут быть разложены на прямые суммы неприводимых представлений, которые сохраняют определенные свойства. 
  • В квантовой теории возникают проективные представления, которые сохраняют физические состояния только с точностью до скаляра. 

• Сохранение энергии и квантовые состояния

  • Энергия сохраняется во времени, и квантовые состояния являются стационарными. 
  • Оператор эволюции во времени может быть представлен как экспоненциальная функция от времени. 
  • Стационарные состояния имеют вид ψ(r, t) = U(t, t0)ψ(r, t0), где t0 — начальное время. 

• Примеры операторов

  • Оператор импульса и углового момента являются примерами генераторов физических преобразований. 
  • Оператор вращения изменяет пространственные координаты на постоянный угол. 
  • Матрицы вращения могут быть получены из элементов группы и углов поворота. 

• Преобразование бесконечно малых вращений

  • Для получения оператора вращения для малых углов используется малоугловое приближение. 
  • Конечное вращение может быть получено из множества малых вращений, заменяя углы на их малые приращения. 
  • Вращения вокруг одной и той же оси коммутируют, что позволяет упростить их описание. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.