Симплектическое многообразие
-
Определение симплектического многообразия
- Симплектическое многообразие — это гладкое многообразие с замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой ω.
- Симплектическая форма ω позволяет получить векторное поле, описывающее движение системы.
-
Мотивация и примеры
- Симплектические многообразия возникают из классической механики.
- Примеры включают симплектические векторные пространства и кокасательные пучки.
-
Симплектические векторные пространства
- Симплектическая форма в R2n сводится к квадратичной форме.
- Матрица Ω задается блочной матрицей 2n × 2n.
-
Кокасательные пучки
- Кокасательные расслоения имеют естественную симплектическую форму.
- Верхний и нижний индексы преобразуются противоположно при смене системы координат.
-
Коллекторы Келера
- Многообразие Келера — это симплектическое многообразие с совместимой интегрируемой сложной структурой.
- Примеры взяты из сложной алгебраической геометрии.
-
Почти сложные многообразия
- Римановы многообразия с ω-совместимыми почти сложными структурами называются почти сложными многообразиями.
- Они обобщают многообразия Келера.
-
Лагранжевы и другие подмногообразия
- Симплектические подмногообразия — это подмногообразия с симплектической формой на них.
- Изотропные подмногообразия — это подмногообразия с нулевой симплектической формой.
- Лагранжевы подмногообразия — это подмногообразия с исчезающей симплектической формой.
-
Примеры лагранжевых подмногообразий
- Стандартное лагранжево подмногообразие в R2n — это подмногообразие, заданное формулой Rxn → Rx,y2n.
- Кокасательное расслоение многообразия локально моделируется в пространстве, аналогичном первому примеру.
-
Лагранжевы подмногообразия
- Определяются исчезающим локусом гладких функций и их производных
- Пример: параметрическое подмногообразие в R2n
- Лагранжевы подмногообразия удовлетворяют условию симплектической формы на касательном многообразии
-
Классификация симплектических многообразий
- Осуществляется с помощью гомологии Флоера
- Действие описывает эволюцию физической системы во времени
-
Теория Морса
- Лагранжевы подмногообразия строятся с помощью исчезающего локуса функции Морса
- Лагранжево пересечение задается формулой M ∩ V(ε ⋅ d f) = Критический удар(f)
-
Специальные лагранжевы подмногообразия
- В случае многообразий Келера, ограничение Ω2 к L исчезает
- Примеры: комплексные лагранжевы подмногообразия гиперкелеровых многообразий, неподвижные точки вещественной структуры многообразий Калаби–Яу
-
Лагранжево расслоение
- Расслоение, в котором все слои являются лагранжевыми подмногообразиями
- Локально рассматривается как кокасательный пучок T∗Rn
-
Лагранжево отображение
- Лагранжево подмногообразие L задается погружением i : L ∈ K
- Составное (π ∈ i) : L ∈ K ∈ B является лагранжевым отображением
- Набор критических значений π ∈ i называется каустикой
-
Частные случаи и обобщения
- Симплектическое многообразие является точным, если симплектическая форма ω точна
- Симплектические многообразия являются частными случаями пуассоновского многообразия
- Мультисимплектическое многообразие степени k имеет замкнутую невырожденную k-форму
- Полисимплектическое многообразие — расслоение Лежандра с полисимплектическим касательным значением (n+2)-формы