Символ Леви-Чивиты

• Определение и свойства символа Леви-Чивиты

  • Символ Леви-Чивиты используется для определения перестановки элементов в n-мерном пространстве. 
  • Он равен +1, если перестановка четная, и -1, если перестановка нечетная. 
  • В общем случае, символ Леви-Чивиты равен нулю, если перестановка не является четной или нечетной. 

• Обобщение на n измерений

  • В n измерениях символ Леви-Чивиты определяется как +1 для четных перестановок и -1 для нечетных. 
  • В случае n = 0 или n = 1 символ Леви-Чивиты равен 0. 
  • Существует явное выражение для символа Леви-Чивиты через произведение знаков разности координат. 

• Свойства символа Леви-Чивиты

  • Тензор, компоненты которого определяются символом Леви-Чивиты, называется тензором перестановок. 
  • Символ Леви-Чивиты остается неизменным при чистых вращениях и сохраняет свои свойства при ортогональных преобразованиях. 
  • Он является псевдотензором, так как меняет знак при отражении в нечетном числе измерений. 
  • При изменении координат компоненты тензора перестановок умножаются на якобиан матрицы преобразования. 
  • В тензорной системе счисления без индексов символ Леви-Чивиты заменяется понятием двойственности Ходжа. 

• Примеры использования символа Леви-Чивиты

  • В двух измерениях символ Леви-Чивиты связывает перестановку с ее четностью. 
  • В трех измерениях символ Леви-Чивиты связан с обобщенной дельтой Кронекера и используется для вычисления перекрестных произведений. 
  • В n измерениях символ Леви-Чивиты обобщается на произведение n символов, каждый из которых равен +1 или -1 в зависимости от четности перестановки. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.