Символ Леви-Чивиты

• Определение и свойства символа Леви-Чивиты

  • Символ Леви-Чивиты используется для определения знака перестановки в n измерениях. 
  • В n измерениях символ равен +1, если перестановка четная, и -1, если перестановка нечетная. 
  • В общем случае, символ Леви-Чивиты равен нулю, если перестановка не является четной или нечетной. 

• Обобщение на произвольное количество измерений

  • В n измерениях символ определяется как +1 для четных перестановок и -1 для нечетных. 
  • В общем случае, символ равен нулю, если перестановка не является четной или нечетной. 

• Явное выражение для символа Леви-Чивиты

  • В n измерениях символ может быть выражен через произведение знаков разности между элементами перестановки. 
  • Вычисление символа требует времени O(n2) в наивном подходе, но может быть выполнено за O(n log n) с использованием четности перестановок. 

• Свойства символа Леви-Чивиты

  • Тензор, компоненты которого определяются символом Леви-Чивиты, называется тензором перестановок. 
  • Символ остается неизменным при чистых вращениях и преобразованиях, связанных с ортогональными системами координат. 
  • Символ является псевдотензором, так как его знак меняется при отражении в нечетном числе измерений. 
  • При изменении координат компоненты тензора перестановок умножаются на якобиан матрицы преобразования. 
  • В тензорной системе счисления без индексов символ заменяется понятием двойственности Ходжа. 

• Примеры использования символа Леви-Чивиты

  • Приведены примеры использования символа Леви-Чивиты для двух и трех измерений. 
  • Показана связь символа с обобщенной дельта Кронекера в n измерениях. 
  • Обсуждается частный случай, когда один из индексов повторяется и суммируется. 

• Продукт символов Леви-Чивиты

  • Произведение двух символов Леви-Чивиты может быть записано в общем виде для n измерений. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.