Символ Леви-Чивиты
-
Определение и свойства символа Леви-Чивиты
- Символ Леви-Чивиты используется для определения перестановки в n измерениях.
- В n измерениях символ равен +1, если перестановка четная, и -1, если перестановка нечетная.
- В общем случае, символ Леви-Чивиты равен нулю, если перестановка не является четной или нечетной.
-
Обобщение на произвольное количество измерений
- В n измерениях символ определяется как +1 для четных перестановок и -1 для нечетных.
- В общем случае, символ равен нулю, если перестановка не является четной или нечетной.
-
Явное выражение для символа Леви-Чивиты
- В n измерениях символ может быть выражен через произведение знаков разности координат.
- Вычисление символа требует времени O(n2) в наивном подходе, но может быть выполнено за O(n log n) с использованием четности перестановок.
-
Свойства символа Леви-Чивиты
- Тензор, компоненты которого определяются символом Леви-Чивиты, называется тензором перестановок.
- Символ остается неизменным при чистых вращениях и преобразованиях, связанных с ортогональными преобразованиями.
- Символ является псевдотензором, так как его знак меняется при отражении в нечетном числе измерений.
- При изменении координат компоненты тензора умножаются на якобиан матрицы преобразования.
- В тензорной системе счисления без индексов символ заменяется понятием двойственности Ходжа.
-
Примеры использования символа Леви-Чивиты
- Приведены примеры использования символа Леви-Чивиты в двух и трех измерениях.
- Показана связь символа с обобщенной дельта Кронекера в n измерениях.
- Обсуждается частный случай, когда один из индексов повторяется и суммируется.
-
Произведение символов Леви-Чивиты
- Произведение двух символов Леви-Чивиты может быть записано в общем виде.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: