Система линейных уравнений

• Основные понятия и методы решения линейных уравнений

  • Линейное уравнение — это уравнение с одной или несколькими неизвестными, которые могут быть выражены через другие известные переменные. 
  • Система линейных уравнений — это набор уравнений, в которых все неизвестные связаны между собой. 
  • Решение системы линейных уравнений — это набор значений неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям системы. 

• Методы решения

  • Метод Крамера — это формула для решения системы линейных уравнений с использованием определителей матриц. 
  • Исключение Гаусса — это метод, который преобразует систему уравнений в эквивалентную форму, где решение может быть найдено. 
  • Матричное решение — это метод, который позволяет выразить решение системы в матричной форме, если матрица имеет полный ранг. 
  • Другие методы включают использование компьютеров, итерационных методов и квантовых алгоритмов для решения систем уравнений. 

• Однородные системы и их свойства

  • Однородная система уравнений имеет по крайней мере одно решение, которое называется нулевым. 
  • Если матрица системы неособая, то существует только одно решение. 
  • Если матрица сингулярная, то существует множество решений. 
  • Решения однородной системы обладают свойствами линейности и могут быть описаны как линейное подпространство. 

• Связь между решениями для линейных систем и однородных систем

  • Решения для линейной системы могут быть описаны как перевод решения для однородной системы. 
  • Если вектор b лежит в образе линейного преобразования A, то система Ax = b имеет решение. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.