Система соседства

• Определение окрестности

  • Окрестность — открытое множество, содержащее точку. 
  • Окрестности используются для определения топологии и изучения топологических свойств. 

• Примеры окрестностей

  • Множество, содержащее точку и все ее окрестности, является окрестностью. 
  • Множество, содержащее все рациональные числа, не является окрестностью нуля. 

• Свойства окрестностей

  • Окрестности точки являются основой окрестностей самой точки. 
  • В метрическом пространстве последовательность открытых шаров образует счетную основу окрестностей. 
  • В слабой топологии на пространстве мер база окрестностей определяется через непрерывные функции. 

• Применение окрестностей

  • Окрестности используются для изучения топологических свойств и построения топологий. 
  • В полунормированных пространствах все системы окрестностей строятся из окрестностей начала координат. 

• Свойства систем окрестностей

  • Система окрестностей является направленной, если она упорядочена включением. 
  • Если система окрестностей не содержит всех точек, отличных от точки, она не является окрестностью этой точки. 

• Связанные понятия

  • База — набор открытых множеств, используемых для определения топологии. 
  • Фильтр — семейство множеств, представляющее «большие» множества. 
  • Локально выпуклое топологическое векторное пространство — векторное пространство с выпуклыми открытыми множествами. 
  • Подосновы — коллекция подмножеств, генерирующих топологию. 
  • Трубчатая окрестность — окрестность подмногообразия, гомеоморфная страницам связки.