Скобка Пуассона
-
История и определение
- Скобка Пуассона введена Симеоном Дени Пуассоном в 1809 году.
- Скобка Пуассона используется в гамильтоновой механике для определения эволюции динамических систем.
- Скобка Пуассона выделяет канонические преобразования, которые преобразуют канонические системы координат.
-
Свойства скобок Пуассона
- Скобка Пуассона связывает две функции f и g, зависящие от фазового пространства и времени.
- Скобка Пуассона удовлетворяет определенным правилам для любых трех функций.
- В канонических координатах скобка Пуассона имеет вид суммы частных производных.
-
Уравнения движения Гамильтона
- Уравнения движения Гамильтона могут быть выражены через скобки Пуассона.
- Временная эволюция функции на симплектическом многообразии задается как однопараметрическое семейство канонических преобразований.
- Скобки Пуассона являются каноническими инвариантами.
-
Матрица Пуассона
- Матрица Пуассона определяется как произведение матрицы Якоби и симплектической матрицы.
- Матрица Пуассона удовлетворяет определенным свойствам, включая антисимметрию и связь с матрицей Лагранжа.
-
Скобка Пуассона и её свойства
- Скобка Пуассона связывает обобщенные координаты и обобщенные импульсы.
- Инвариантность скобки Пуассона приводит к симплектическому условию.
-
Постоянные движения и интегрируемость
- Постоянные движения коммутируют с гамильтонианом.
- Уравнение Лиувилля связывает постоянную движения с гамильтонианом.
- Для полной интегрируемости системы постоянные движения должны быть в инволюции.
-
Скобка Пуассона в бескоординатном языке
- Симплектическое многообразие определяется симплектической формой.
- Гамильтоново векторное поле определяется как ΩdH.
- Скобка Пуассона антисимметрична и удовлетворяет правилу Лейбница.
-
Связь с гамильтоновыми векторными полями
- Гамильтоновы векторные поля являются симплектическими.
- Гамильтонов поток состоит из канонических преобразований.
- Скобка Пуассона соответствует скобке Ли гамильтоновых векторных полей.
-
Алгебра Пуассона
- Симплектические векторные поля образуют подалгебру алгебры Ли гладких векторных полей.
- Гамильтоновы векторные поля образуют идеал этой подалгебры.
- Симплектические векторные поля являются алгеброй Ли Группы Ли симплектоморфизмов.
-
Тождество Якоби для скобки Пуассона
- Тождество Якоби для скобки Пуассона следует из тождества для скобки Ли векторных полей.
- Оператор adg равен оператору Xg.
- Доказательство тождества Якоби следует из коммутатора операторов.
-
Алгебра гладких функций и пуассоново многообразие
- Гладкие функции образуют алгебру Пуассона на симплектическом многообразии.
- Каждое симплектическое многообразие является пуассоновым многообразием.
-
Пуассоновы многообразия и вырождение
- Пуассоновы многообразия допускают вырождение, которое не возникает в симплектическом случае.
-
Сопряженные импульсы
- Сопряженное отображение импульса является антигомоморфизмом алгебры Ли от скобки Ли к скобке Пуассона.
- Сопряженный импульс к векторному полю X выражается через функции импульса, сопряженные с координатами.
- Скобка Пуассона между сопряженными импульсами равна антикоммутатору векторных полей.
-
Квантование и скобки Мойала
- Скобки Пуассона при квантовании преобразуются в скобки Мойала.
- Скобки Мойала обобщаются на алгебру Ли, алгебру Мойала, или квантовые коммутаторы в гильбертовом пространстве.
- Групповое сжатие Вигнера-Иненю дает алгебру Ли.
- Универсальной охватывающей алгеброй алгебры Гейзенберга является алгебра Вейля.
- Произведение Мояла является частным случаем звездного произведения на алгебре символов.
-
Дополнительные понятия
- Коммутатор, скобка Дирака, скобка Лагранжа, кронштейн Moyal, кронштейн Пайерлса, фазовое пространство, алгебра Пуассона, кольцо Пуассона, супералгебра Пуассона, супербраечка Пуассона.