Специализированный (предварительный) заказ

• Определение и мотивация порядка специализации

  • Порядок специализации связывает точки топологического пространства, когда одна находится в замыкании другой. 
  • Существует расхождение в определении направления порядка между различными авторами. 
  • Определение порядка специализации основано на том, что x является специализацией y, если y содержится в большем числе открытых множеств, чем x. 

• Свойства порядка специализации

  • Порядок специализации является рефлексивным и транзитивным. 
  • Топологическая неразличимость эквивалентна отношению порядка специализации. 
  • Антисимметрия порядка специализации соответствует аксиоме разделения T0. 
  • Симметрия порядка специализации эквивалентна аксиоме разделения R0. 
  • В топологиях T1 порядок специализации становится дискретным. 

• Примеры и важные свойства

  • В пространстве Серпинского порядок специализации является естественным. 
  • В Spec (R) замкнутые точки являются максимальными идеалами. 
  • В пространстве с порядком специализации каждое открытое множество является верхним, а каждое замкнутое множество — нижним. 

• Связь с другими топологиями

  • Порядок специализации позволяет получить предварительный заказ из любой топологии. 
  • Топология Александрова является самой тонкой, которая индуцирует заданный порядок. 
  • Верхняя топология является самой грубой, которая индуцирует заданный порядок. 
  • Топология Скотта является наилучшей разумной топологией, соответствующей заданному порядку. 

• Рекомендации

  • Для дополнительной информации рекомендуется обратиться к работе М.М. Бонсанга «Топологическая двойственность в семантике».