Оглавление
Спираль Дойла
-
Определение и свойства спиралей Дойла
- Спирали Дойла — это узор из непересекающихся окружностей, где каждая окружность окружена кольцом из шести касательных окружностей.
- Спирали имеют спиральные ответвления, образованные кругами, соединенными противоположными точками соприкосновения.
- Центры окружностей лежат на логарифмических спиралях трех различных форм.
-
Радиусы и руки
- Радиусы окружностей в спирали Дойла хорошо структурированы.
- Шесть окружностей можно упаковать вокруг окружности радиуса r, если существуют три положительных действительных числа a, b и c, так что радиусы окружностей равны a, b и c/a.
- Спирали Дойла могут быть сгруппированы в цепочки окружностей через противоположные точки касания, называемые рукавами.
-
Форма и параметры
- Форма спирали Дойла определяется тремя натуральными числами, подсчитывающими количество ответвлений каждой из трех форм.
- Для спирали типа (p, q) множители радиуса равны a = |α|, b = |β| и c = b/a для комплексных чисел α и β, удовлетворяющих уравнениям когерентности и касания.
- Окружность, центром которой является расстояние d от центральной точки спирали, имеет радиус |1 – α|/(1 + α)d.
-
Симметрия и примеры
- Спирали Дойла обладают симметрией, сочетающей масштабирование и вращение вокруг центральной точки.
- Преобразование Мебиуса сохраняет форму и касания окружностей, создавая дополнительные структуры из непересекающихся касательных окружностей.
- Примеры включают локсодромную последовательность касательных окружностей Кокстера и спирали типа (p, p) и (p, 2p).
-
Приложения и история
- Спирали Дойла используются для моделирования филлотаксиса и изучения клейновских групп.
- Спирали из касательных окружностей с номерами ветвей Фибоначчи применялись для моделирования спирального роста растений.
-
Спиральные узоры и их применение
- Спиральные узоры могут быть использованы для моделирования роста растений.
- Спиральные наложения касательных окружностей могут применяться на поверхностях, отличных от плоскости.
- Спиральная укладка кругов изучалась как декоративный мотив в архитектурном дизайне.
-
Локально-квадратные спиральные упаковки
- Касательные окружности могут образовывать спиральные узоры с локальной структурой, напоминающей квадратную сетку.
- Пространство локально-квадратных спиральных упаковок бесконечномерно, в отличие от спиралей Дойла.
- Спиралевидные системы перекрывающихся окружностей покрывают плоскость, каждая точка которой покрыта не более чем двумя окружностями.
-
Спираль Дойла и её свойства
- Спираль Дойла не следует путать с другим спиральным рисунком из кругов, изученным для роста растений.
- В этом шаблоне окружности имеют единичный размер и не являются касательными.
- Центры окружностей расположены на спирали Ферма, смещенной на золотой угол 2π/φ2 ≈ 137.5° относительно центра спирали.
-
Дополнительные сведения
- Спираль Дойла имеет много общих свойств со спиралями Дойла.
- Спираль Дойла не следует путать с другими спиральными рисунками, изученными для роста растений.