Оглавление
- 1 Связка (математика)
- 1.1 Определение пучков
- 1.2 Теория пучков
- 1.3 Предварительные пучки
- 1.4 Снопы
- 1.5 Примеры и обозначения
- 1.6 Применение в алгебраической геометрии
- 1.7 Определение пучков
- 1.8 Примеры пучков
- 1.9 Предварительные пучки
- 1.10 Мотивирующие пучки
- 1.11 Операции с пучками
- 1.12 Определение морфизмов пучков
- 1.13 Стебли пучков
- 1.14 Превращение предварительного пучка в связку
- 1.15 Подпучки и частные пучки
- 1.16 Базовая функциональность
- 1.17 Обратное изображение
- 1.18 Расширение на ноль
- 1.19 Пучки в более общих категориях
- 1.20 Замкнутые пространства и блоки модулей
- 1.21 Условия конечности для пучков модулей
- 1.22 Пучки множеств и пространства этале
- 1.23 Построение пространства этале
- 1.24 Функтор Γ
- 1.25 Когомологии пучков
- 1.26 Когомологии Чеха
- 1.27 Гиперпространственные покрытия
- 1.28 Вложения и когомологии
- 1.29 Основные понятия и теоремы
- 1.30 Производные категории пучков
- 1.31 Сайты и топосы
- 1.32 История теории пучков
- 1.33 Полный текст статьи:
- 2 Связка (математика) – Arc.Ask3.Ru
Связка (математика)
-
Определение пучков
- Пучки — это инструменты для систематического отслеживания данных, привязанных к открытым множествам топологического пространства.
- Данные могут быть кольцами непрерывных функций или другими множествами.
- Пучки концептуально понимаются как общие и абстрактные объекты, но их правильное определение носит технический характер.
-
Теория пучков
- Область математики, изучающая пучки, называется теорией пучков.
- Пучки образуют категорию с морфизмами, которые преобразуют пучки и их морфизмы.
- Пучки имеют множество применений в топологии, алгебраической и дифференциальной геометрии.
-
Предварительные пучки
- Предварительные пучки состоят из множеств, определенных на открытых множествах топологического пространства.
- Морфизмы ограничения необходимы для удовлетворения двух аксиом.
- Примеры предварительных пучков включают пучки непрерывных функций и голоморфных функций.
-
Снопы
- Пучки — это предварительные пучки, сечения которых однозначно определяются их ограничениями.
- Аксиомы пучка включают населённый пункт и склеивание.
- Разделенный предпучок — это предпучок, удовлетворяющий аксиоме населённого пункта.
-
Примеры и обозначения
- Пучки обозначаются заглавными буквами, такими как F.
- Использование каллиграфических букв, таких как {\mathcal{F}}, также распространено.
- Для определения пучка достаточно указать его ограничение на открытые множества базиса.
-
Применение в алгебраической геометрии
- Пучки используются для выражения геометрических структур, таких как дифференцируемые многообразия и схемы.
- Пучки обеспечивают основу для теории когомологий и теории D-модулей.
- Обобщения пучков на более общие параметры нашли применение в математической логике и теории чисел.
-
Определение пучков
- Пучки определяются как наборы, удовлетворяющие определенным условиям.
- Пучки удовлетворяют условию, что для любого открытого множества U и любой открытой крышки {Ua} от U, F(U) является волокнистым продуктом F(Ua) × F(Ua ∩ Ub) × F(Ub).
-
Примеры пучков
- Набор сечений непрерывной карты: любая непрерывная карта f: Y → X определяет пучок Γ(Y/X) на X.
- Связка разделов: определяется как множество ветвей комплексного логарифма на U.
- Пучки на коллекторах: включают связку j-непрерывно дифференцируемых функций O(M)j и ненулевые Ck функции O(X)×.
-
Предварительные пучки
- Предварительный пучок не всегда является пучком, например, постоянный предварительный пучок.
- Примеры предварительных пучков, которые не являются пучками: F(∅) = {∅}, F(x) = R, F(y) = R, F(x,y) = R × R × R.
-
Мотивирующие пучки
- Пучки связаны с изучением сложных многообразий и алгебраической геометрии.
- Пучки позволяют отслеживать голоморфные функции на комплексных многообразиях.
- Пучки также используются для отслеживания подмногообразий.
-
Операции с пучками
- Морфизмы пучков аналогичны функциям между ними.
-
Определение морфизмов пучков
- Морфизмы пучков должны быть совместимы с локально-глобальными структурами нижележащих пучков.
- Морфизм φ: F → G состоит из морфизмов φU: F(U) → G(U) для каждого открытого множества U от X.
- Морфизм является изоморфизмом (мономорфизмом) тогда и только тогда, когда φU являются изоморфизмами (инъективными морфизмами) для всех α.
-
Стебли пучков
- Стебель Fx фиксирует свойства пучка вокруг точки x ∈ X.
- Стебель определяется как прямой предел, охватывающий все открытые подмножества X, содержащие x.
- Естественный морфизм F(U) → Fx занимает раздел s в F(U) к его зародышу sx около x.
-
Превращение предварительного пучка в связку
- Существует наилучший способ превратить предварительный пучок F в связку aF.
- aF может быть сконструирован с использованием пространства étalé E от F или функтора L.
- aF является левосопряженным функтором к функтору включения из категории пучков в категорию предпучков.
-
Подпучки и частные пучки
- Факторный пучок Q связан с предварительным пучком U ↦ F(U) / K(U).
- Набор Hom(F, G) о морфизмах пучков из F в G образует абелеву группу.
- Прямая сумма и тензорное произведение F и G связаны с предварительными пучками U ↦ F(U) ⊕ G(U) и U ↦ F(U) ⊗ G(U).
-
Базовая функциональность
- Пучки в разных топологических пространствах не связаны морфизмами.
- Pushforward и pullback связывают пучки на X для тех, кто на Y и наоборот.
- Прямое изображение пучка F на X является пучком, определяемым как (f!F)(V), где V — открытое подмножество Y.
-
Обратное изображение
- Обратное изображение создает пучок на X из связки G на Y.
- Для включений открытых подмножеств обратное изображение является ограничением.
- Локально постоянные пучки эквивалентны представлениям фундаментальной группы.
-
Расширение на ноль
- Расширение на ноль пучка F на A определяется как j!f_BOS_*F.
- Расширение полезно для сокращения вопросов теории пучков на X к стратам стратификации.
-
Пучки в более общих категориях
- Пучки могут иметь дополнительную структуру, например, сечения пучка непрерывных функций образуют векторное пространство.
- Предварительные связки определяются как контравариантные функторы из категории открытых множеств в C.
-
Замкнутые пространства и блоки модулей
- Пространства соответствуют пучкам колец, называемым структурными пучками.
- Локально замкнутые пространства имеют локальные кольца в качестве стеблей.
- Связки модулей представляют собой пучки, где на каждом открытом множестве M(U) является O(U)-модулем.
-
Условия конечности для пучков модулей
- Пучки модулей называются конечно порожденными или конечно представленными, если существуют открытые окрестности и морфизмы пучков.
- Когерентные пучки имеют конечный тип и ядра морфизмов имеют конечный тип.
- Теорема о когерентности Ока утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном многообразии когерентен.
-
Пучки множеств и пространства этале
- Пучки множеств могут быть представлены как пучки сечений топологического пространства этале.
- Пространство этале — это топологическое пространство с локальным гомеоморфизмом, таким что пучок сечений является исходным пучком.
- Пространство этале может не иметь четкой топологической интерпретации.
-
Построение пространства этале
- Пространство этале строится из стеблей исходного пучка.
- Топология определяется через зародыши отображения.
- Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение пространств этале.
-
Функтор Γ
- Функтор Γ отправляет объект из категории топологических пространств над X в категорию множеств.
- Функтор Γ сохраняет эпиморфизмы, но не сохраняет эпиморфизмы пучков.
-
Когомологии пучков
- Когомологии пучков фиксируют несюръективность карт между пучками.
- Существует длинная точная последовательность для когомологий пучков.
- Когомологии пучков могут быть вычислены с помощью разрешений по мягким, тонким и дряблым пучкам.
-
Когомологии Чеха
- Когомологии Чеха связывают разделы об открытых подмножествах с классами когомологий.
- В большинстве случаев когомологии Чеха вычисляют те же группы, что и производные когомологии функторов.
- Для некоторых патологических пространств когомологии Чеха могут давать некорректные группы высших когомологий.
-
Гиперпространственные покрытия
- Гиперпокрытия позволяют заменить открытые подмножества морфизмами из другого пространства.
- Гиперпокрытия дают правильные группы высших когомологий и полезны в некоторых областях применения.
-
Вложения и когомологии
- Вложения пространств позволяют связать известные группы когомологий с пучками в окружающих пространствах.
- Известные группы когомологий могут быть связаны с пучками через вложения.
-
Основные понятия и теоремы
- Когомологии когерентного пучка проективных плоских кривых легко вычисляются.
- Разложение Ходжа использует спектральную последовательность для вычисления когомологий.
- Теорема Бореля–Ботта–Вейля идентифицирует группы когомологий линейных расслоений с неприводимыми представлениями групп Ли.
-
Производные категории пучков
- Производная категория от категории пучков является концептуальным убежищем для когомологий.
- Функтор скрученного обратного изображения определяется только на уровне производных категорий.
- Производные категории когерентных пучков используются в теории пересечений Гротендика.
-
Сайты и топосы
- Гипотезы Вейля требовали теории когомологий для алгебраических многообразий над конечными полями.
- Гротендик ввел топологии Гротендика для решения этой проблемы.
- Категория с топологией Гротендика называется сайтом, а категория пучков на сайте — топосом.
-
История теории пучков
- Первые истоки теории пучков связаны с идеей аналитического продолжения.
- В 1936 году Эдуард Чех ввел конструкцию nerve.
- В 1943 году Норман Стинрод опубликовал статью о гомологии с локальными коэффициентами.
- В 1945 году Жан Лере опубликовал работу, мотивированную теорией PDE.
- В 1950 году на семинаре Картана впервые излагается теория пучков.
- В 1953 году Картан и Серр доказали теорему о конечности когерентных пучков.
- В 1955 году Гротендик определил абелеву категорию и предпучок.
- В 1957 году Гротендик доказал двойственность Гротендика.
- В 1958 году вышла книга Роджера Годемента о теории пучков.
- В 1958 году Микио Сато предложил гиперфункции.
- Пучки стали основной частью математики, их использование не ограничивалось алгебраической топологией.