Сюрреалистическое число

Сюрреалистическое число Определение сюрреалистических чисел Сюрреалистические числа — это полностью упорядоченный класс, содержащий действительные числа, бесконечные и бесконечно малые числа.   […]

Сюрреалистическое число

  • Определение сюрреалистических чисел

    • Сюрреалистические числа — это полностью упорядоченный класс, содержащий действительные числа, бесконечные и бесконечно малые числа.  
    • Они образуют упорядоченное поле, включающее все другие упорядоченные поля.  
  • История создания

    • Исследование эндшпиля Go Джоном Хортоном Конвеем привело к определению сюрреалистических чисел.  
    • Конструкция Конвея была представлена в книге Дональда Кнута в 1974 году.  
    • Сюрреалистические числа также связаны с работами Ганса Хана и Феликса Хаусдорфа.  
  • Обозначение и схема построения

    • Сюрреалистические числа записываются как {L | R}, где L и R — подмножества чисел.  
    • Каждое число формируется из упорядоченной пары подмножеств.  
    • Сюрреалистические числа строятся поэтапно, начиная с пустого набора.  
  • Арифметические операции

    • Стандартные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) могут быть распространены на сюрреалистические числа.  
    • Сюрреалистические числа образуют упорядоченное поле.  
  • Индуктивное построение

    • Сюрреалистические числа строятся индуктивно как классы эквивалентности пар наборов.  
    • Правило индукции требует математической индукции для определения совокупности объектов.  
    • Единственными сюрреалистическими числами, достижимыми с помощью конечной индукции, являются двоичные дроби.  
  • Определение сюрреалистических чисел

    • Пустое множество S0 состоит из единственной сюрреалистической формы { | }.  
    • Для каждого конечного порядкового числа n Sn хорошо упорядочен по правилу сравнения сюрреалистических чисел.  
    • Первая итерация правила индукции приводит к трем числовым формам: { | 0 }, { | } и { 0 | }.  
    • Класс эквивалентности, содержащий { 0 | }, помечен как 1, а класс эквивалентности, содержащий { | 0 }, помечен как -1.  
  • Арифметические операции

    • Арифметические операции определяются метками 0, 1 и -1.  
    • Для каждого i < n, числа в Si отображаются в Sn как надмножества их представления в Si.  
    • Числа в Sn, являющиеся надмножествами чисел в Si, считаются унаследованными от поколения i.  
  • Классы эквивалентности

    • Классы эквивалентности зависят от максимального элемента левого множества и минимального элемента правого множества.  
    • Неофициальные интерпретации { 1 | } и { | -1 } как «число сразу после 1» и «число непосредственно перед -1» соответственно.  
    • Неофициальные интерпретации { 0/1 } и { -1/0 } как «число, находящееся на полпути между 0 и 1» и «число, находящееся на полпути между -1 и 0» соответственно.  
  • Арифметика

    • Сложение, отрицание и умножение определяются рекурсивными формулами.  
    • Отрицание: x = { XL | XR } → -x = { -XL | -XR }.  
    • Сложение: x + y = { XL | XR } + { YL | YR } → { XL + y, x + YL | XR + y, x + YR }.  
    • Вычитание: x — y = { XL | XR } + { -YR | -YL } → { XL — y, x — YR | XR — y, x — YL }.  
    • Умножение: x y = { XL | XR } { YL | YR } → { XLy + xYL — XLYL, XRy + xYR — XRYR | XLy + xYR — XLYR, xYL + XRy — XRYL}.  
    • Деление: x/y = x ⋅ 1/y → 1/y = { 0, 1 + (yR — y) (1/y)L yR, 1 + (yL — y) (1/y)R yL | 1 + (yL — y) (1/y)L yL, 1 + (yR — y) (1/y)R yR }.  
  • Определение и свойства операций

    • Операции сложения, отрицания и умножения определяются рекурсивно.  
    • Операции подчиняются аксиомам ассоциативности, коммутативности, аддитивной инверсии и дистрибутивности.  
    • Операции могут быть распространены на числа, представляющие собой сюрреалистические числовые формы.  
  • Арифметическое замыкание

    • Для каждого натурального числа n все числа, сгенерированные в Sn, являются двоичными дробями.  
    • Множество всех сюрреалистических чисел, генерируемых в Sn, обозначается как S∗.  
    • S∗ замкнут при сложении и умножении, но не при сложении и вычитании.  
  • Бесконечность и иррациональные числа

    • Определяется множество Sw как набор всех нереальных чисел, сгенерированных из подмножеств S∗.  
    • В Sw содержатся объекты, которые могут быть идентифицированы как рациональные числа.  
    • Единственные бесконечности в Sw — это ω и −ω.  
  • Содержимое Sw

    • При любом x = { L | R } в Sw верно одно из нескольких значений.  
    • Sw не является алгебраическим полем, так как не замкнуто при арифметических операциях.  
    • Максимальное подмножество Sw, замкнутое при арифметических операциях, представляет собой поле действительных чисел.  
  • Отображения и мощность

    • Множество Sw имеет ту же мощность, что и действительные числа R.  
    • Отображение Sw на I является обычным делом, а отображение I на Sw сопоставляет центральную треть I с { | } = 0 и центральную треть верхней трети с { 0 } = 1.  
  • Отображение Кантора и сюрреалистические числа

    • Отображение Кантора переводит множество Кантора в сюрреалистические числа.  
    • Сюрреалистические числа имеют день рождения ω и могут быть представлены как сумма и произведение ординалов.  
  • Трансфинитная индукция и порядковые числа

    • Трансфинитная индукция приводит к появлению новых порядковых чисел.  
    • Первый порядковый номер — ω+1, который является суммой ω и -1.  
    • В поколении ω+1 появляются новые бесконечно малые числа.  
  • Степени ω и нормальная форма Конвея

    • Степени ω удовлетворяют условиям wx wy = wx+y и ω−x = 1/wx.  
    • Каждое сюрреалистическое число имеет нормальную форму Конвея, аналогичную нормальной форме Кантора.  
  • Пробелы и преемственность

    • Подмножества сюрреалистических чисел не имеют наименьшей верхней границы.  
    • Разрывы в сюрреалистических числах не совсем такие, как у Дедекинда.  
    • Сюрреалистические числа могут быть завершены с помощью линейного континуума.  
  • Экспоненциальная функция

    • Гоншор разработал конструкцию экспоненциальной функции для сюрреалистических чисел.  
    • Функция степеней ω также является экспоненциальной, но не обладает всеми необходимыми свойствами.  
    • Базовая индукция основана на разложении в ряд для реальной экспоненты.  
  • Результаты

    • exp — строго возрастающая положительная функция.  
    • exp удовлетворяет exp(x+y) = exp x · exp y.  
    • exp — сюръекция и имеет четко определенную обратную величину.  
    • exp совпадает с обычной экспоненциальной функцией от реальных чисел.  
  • Определение сюрреалистических чисел

    • Сюрреалистические числа определяются как функции, которые могут быть определены индуктивно.  
    • Обратная величина функции также может быть определена индуктивно.  
    • Нормальная форма числа может быть записана как произведение бесконечной части и вещественной экспоненты.  
  • Примеры и свойства

    • exp(x) = ωΣα<βrawg(aa) для x = Σα<βrawaa.  
    • log x = Σα<βrawg–1(ba) для x = ωΣα<βrawba.  
    • exp(x)/xn бесконечно для любого положительно бесконечного x и конечного n.  
    • exp(x) > xn для любого целого числа n и нереального x > n2.  
  • Сюрреализм и экспоненциальное поле

    • Сюрреализм с экспоненциальным полем является элементарным расширением реального экспоненциального поля.  
    • Для εβ, порядкового числа эпсилон, набор нереальных чисел с днем рождения меньше εβ образует поле.  
  • Игры и их свойства

    • Игры определяются как функции, которые могут быть положительными, отрицательными, нулевыми или нечеткими.  
    • Игры имеют частичный порядок, в отличие от сюрреалистических чисел, которые образуют поле.  
    • Игры могут быть связаны с позициями на доске, что позволяет анализировать игры.  
  • Применение к теории комбинаторных игр

    • Сюрреалистические числа изначально были основаны на исследованиях игры Go.  
    • Игры могут быть разделены на четыре класса: левые выигрывают, правые выигрывают, ничья и нечеткие игры.  
  • Альтернативные реализации

    • Расширение знака определяет ирреальные числа как функции с областью действия порядковой и кодовой областью { -1, +1 }.  
    • Альтернативные подходы к сюрреалистическим числам включают расширение знака и последовательности знаков.  
  • Определение сюрреалистических чисел

    • Сюрреалистические числа определяются двоичным отношением < в лексикографическом порядке.  
    • x < y, если x проще, чем y, и y(dom(x)) = +1 или y проще, чем x, и x(dom(y)) = -1.  
    • x = y, если δ(x,y) = dom(x) = dom(y).  
  • Транзитивность и линейный порядок

    • Отношение < транзитивно и удовлетворяет закону трихотомии.  
    • Для наборов чисел L и R существует уникальное число z, такое, что ∀x ∈ L (x < z) ∧ ∀y ∈ R (z < y).  
    • z можно построить из L и R с помощью трансфинитной индукции.  
  • Альтернативная реализация

    • Равенство определяется как тождество, а не индуктивно определенное отношение.  
    • Сюрреалы могут быть классом функций, удовлетворяющих правилу транзитивности.  
    • Общий порядок определяется через упорядоченные пары.  
  • Сложение и умножение

    • Сумма x + y определяется через σ(L,R), где L и R определяются через dom(x) и dom(y).  
    • Аддитивный идентификатор задается числом 0, а мультипликативный идентификатор — числом 1.  
  • Соответствие с реализацией Конвея

    • Отображение от реализации Конвея к знаковым разложениям задается через f({ L | R }) = σ(M, S).  
    • Обратное отображение задается через g(x) = { L | R }.  
  • Аксиоматический подход

    • Аллинг предлагает набор аксиом, гарантирующих уникальность с точностью до изоморфизма.  
    • Аксиомы включают теорему Конвея о простоте и полностью сюрреалистическую систему счисления.  
  • Иерархия простоты

    • Построение сюрреалистических чисел в виде максимального двоичного псевдодерева с простотой и упорядочивающими отношениями.  
    • Эта конструкция удовлетворяет аксиомам Аллинга и может быть сопоставлена с представлением последовательности знаков.  
  • Серия Hahn

    • Поле сюрреалистических чисел изоморфно полю рядов Хана с вещественными коэффициентами.  
    • Это обеспечивает связь между сюрреалистическими числами и теорией упорядоченного поля.  
  • Отношение к гиперреальным явлениям

    • Эрлих построил изоморфизм между полем максимальных сюрреалистических чисел Конвея и максимальными гиперреальными числами.  

Полный текст статьи:

Сюрреалистическое число

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх