Сюрреалистическое число
-
Определение сюрреалистических чисел
- Сюрреалистические числа — это полностью упорядоченный класс, содержащий действительные числа, бесконечные и бесконечно малые числа.
- Они образуют упорядоченное поле, включающее все другие упорядоченные поля.
-
История создания
- Исследование эндшпиля Go Джоном Хортоном Конвеем привело к определению сюрреалистических чисел.
- Конструкция Конвея была представлена в книге Дональда Кнута в 1974 году.
- Сюрреалистические числа также связаны с работами Ганса Хана и Феликса Хаусдорфа.
-
Обозначение и схема построения
- Сюрреалистические числа записываются как {L | R}, где L и R — подмножества чисел.
- Каждое число формируется из упорядоченной пары подмножеств.
- Сюрреалистические числа строятся поэтапно, начиная с пустого набора.
-
Арифметические операции
- Стандартные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) могут быть распространены на сюрреалистические числа.
- Сюрреалистические числа образуют упорядоченное поле.
-
Индуктивное построение
- Сюрреалистические числа строятся индуктивно как классы эквивалентности пар наборов.
- Правило индукции требует математической индукции для определения совокупности объектов.
- Единственными сюрреалистическими числами, достижимыми с помощью конечной индукции, являются двоичные дроби.
-
Определение сюрреалистических чисел
- Пустое множество S0 состоит из единственной сюрреалистической формы { | }.
- Для каждого конечного порядкового числа n Sn хорошо упорядочен по правилу сравнения сюрреалистических чисел.
- Первая итерация правила индукции приводит к трем числовым формам: { | 0 }, { | } и { 0 | }.
- Класс эквивалентности, содержащий { 0 | }, помечен как 1, а класс эквивалентности, содержащий { | 0 }, помечен как -1.
-
Арифметические операции
- Арифметические операции определяются метками 0, 1 и -1.
- Для каждого i < n, числа в Si отображаются в Sn как надмножества их представления в Si.
- Числа в Sn, являющиеся надмножествами чисел в Si, считаются унаследованными от поколения i.
-
Классы эквивалентности
- Классы эквивалентности зависят от максимального элемента левого множества и минимального элемента правого множества.
- Неофициальные интерпретации { 1 | } и { | -1 } как «число сразу после 1» и «число непосредственно перед -1» соответственно.
- Неофициальные интерпретации { 0/1 } и { -1/0 } как «число, находящееся на полпути между 0 и 1» и «число, находящееся на полпути между -1 и 0» соответственно.
-
Арифметика
- Сложение, отрицание и умножение определяются рекурсивными формулами.
- Отрицание: x = { XL | XR } → -x = { -XL | -XR }.
- Сложение: x + y = { XL | XR } + { YL | YR } → { XL + y, x + YL | XR + y, x + YR }.
- Вычитание: x — y = { XL | XR } + { -YR | -YL } → { XL — y, x — YR | XR — y, x — YL }.
- Умножение: x y = { XL | XR } { YL | YR } → { XLy + xYL — XLYL, XRy + xYR — XRYR | XLy + xYR — XLYR, xYL + XRy — XRYL}.
- Деление: x/y = x ⋅ 1/y → 1/y = { 0, 1 + (yR — y) (1/y)L yR, 1 + (yL — y) (1/y)R yL | 1 + (yL — y) (1/y)L yL, 1 + (yR — y) (1/y)R yR }.
-
Определение и свойства операций
- Операции сложения, отрицания и умножения определяются рекурсивно.
- Операции подчиняются аксиомам ассоциативности, коммутативности, аддитивной инверсии и дистрибутивности.
- Операции могут быть распространены на числа, представляющие собой сюрреалистические числовые формы.
-
Арифметическое замыкание
- Для каждого натурального числа n все числа, сгенерированные в Sn, являются двоичными дробями.
- Множество всех сюрреалистических чисел, генерируемых в Sn, обозначается как S∗.
- S∗ замкнут при сложении и умножении, но не при сложении и вычитании.
-
Бесконечность и иррациональные числа
- Определяется множество Sw как набор всех нереальных чисел, сгенерированных из подмножеств S∗.
- В Sw содержатся объекты, которые могут быть идентифицированы как рациональные числа.
- Единственные бесконечности в Sw — это ω и −ω.
-
Содержимое Sw
- При любом x = { L | R } в Sw верно одно из нескольких значений.
- Sw не является алгебраическим полем, так как не замкнуто при арифметических операциях.
- Максимальное подмножество Sw, замкнутое при арифметических операциях, представляет собой поле действительных чисел.
-
Отображения и мощность
- Множество Sw имеет ту же мощность, что и действительные числа R.
- Отображение Sw на I является обычным делом, а отображение I на Sw сопоставляет центральную треть I с { | } = 0 и центральную треть верхней трети с { 0 } = 1.
-
Отображение Кантора и сюрреалистические числа
- Отображение Кантора переводит множество Кантора в сюрреалистические числа.
- Сюрреалистические числа имеют день рождения ω и могут быть представлены как сумма и произведение ординалов.
-
Трансфинитная индукция и порядковые числа
- Трансфинитная индукция приводит к появлению новых порядковых чисел.
- Первый порядковый номер — ω+1, который является суммой ω и -1.
- В поколении ω+1 появляются новые бесконечно малые числа.
-
Степени ω и нормальная форма Конвея
- Степени ω удовлетворяют условиям wx wy = wx+y и ω−x = 1/wx.
- Каждое сюрреалистическое число имеет нормальную форму Конвея, аналогичную нормальной форме Кантора.
-
Пробелы и преемственность
- Подмножества сюрреалистических чисел не имеют наименьшей верхней границы.
- Разрывы в сюрреалистических числах не совсем такие, как у Дедекинда.
- Сюрреалистические числа могут быть завершены с помощью линейного континуума.
-
Экспоненциальная функция
- Гоншор разработал конструкцию экспоненциальной функции для сюрреалистических чисел.
- Функция степеней ω также является экспоненциальной, но не обладает всеми необходимыми свойствами.
- Базовая индукция основана на разложении в ряд для реальной экспоненты.
-
Результаты
- exp — строго возрастающая положительная функция.
- exp удовлетворяет exp(x+y) = exp x · exp y.
- exp — сюръекция и имеет четко определенную обратную величину.
- exp совпадает с обычной экспоненциальной функцией от реальных чисел.
-
Определение сюрреалистических чисел
- Сюрреалистические числа определяются как функции, которые могут быть определены индуктивно.
- Обратная величина функции также может быть определена индуктивно.
- Нормальная форма числа может быть записана как произведение бесконечной части и вещественной экспоненты.
-
Примеры и свойства
- exp(x) = ωΣα<βrawg(aa) для x = Σα<βrawaa.
- log x = Σα<βrawg–1(ba) для x = ωΣα<βrawba.
- exp(x)/xn бесконечно для любого положительно бесконечного x и конечного n.
- exp(x) > xn для любого целого числа n и нереального x > n2.
-
Сюрреализм и экспоненциальное поле
- Сюрреализм с экспоненциальным полем является элементарным расширением реального экспоненциального поля.
- Для εβ, порядкового числа эпсилон, набор нереальных чисел с днем рождения меньше εβ образует поле.
-
Игры и их свойства
- Игры определяются как функции, которые могут быть положительными, отрицательными, нулевыми или нечеткими.
- Игры имеют частичный порядок, в отличие от сюрреалистических чисел, которые образуют поле.
- Игры могут быть связаны с позициями на доске, что позволяет анализировать игры.
-
Применение к теории комбинаторных игр
- Сюрреалистические числа изначально были основаны на исследованиях игры Go.
- Игры могут быть разделены на четыре класса: левые выигрывают, правые выигрывают, ничья и нечеткие игры.
-
Альтернативные реализации
- Расширение знака определяет ирреальные числа как функции с областью действия порядковой и кодовой областью { -1, +1 }.
- Альтернативные подходы к сюрреалистическим числам включают расширение знака и последовательности знаков.
-
Определение сюрреалистических чисел
- Сюрреалистические числа определяются двоичным отношением < в лексикографическом порядке.
- x < y, если x проще, чем y, и y(dom(x)) = +1 или y проще, чем x, и x(dom(y)) = -1.
- x = y, если δ(x,y) = dom(x) = dom(y).
-
Транзитивность и линейный порядок
- Отношение < транзитивно и удовлетворяет закону трихотомии.
- Для наборов чисел L и R существует уникальное число z, такое, что ∀x ∈ L (x < z) ∧ ∀y ∈ R (z < y).
- z можно построить из L и R с помощью трансфинитной индукции.
-
Альтернативная реализация
- Равенство определяется как тождество, а не индуктивно определенное отношение.
- Сюрреалы могут быть классом функций, удовлетворяющих правилу транзитивности.
- Общий порядок определяется через упорядоченные пары.
-
Сложение и умножение
- Сумма x + y определяется через σ(L,R), где L и R определяются через dom(x) и dom(y).
- Аддитивный идентификатор задается числом 0, а мультипликативный идентификатор — числом 1.
-
Соответствие с реализацией Конвея
- Отображение от реализации Конвея к знаковым разложениям задается через f({ L | R }) = σ(M, S).
- Обратное отображение задается через g(x) = { L | R }.
-
Аксиоматический подход
- Аллинг предлагает набор аксиом, гарантирующих уникальность с точностью до изоморфизма.
- Аксиомы включают теорему Конвея о простоте и полностью сюрреалистическую систему счисления.
-
Иерархия простоты
- Построение сюрреалистических чисел в виде максимального двоичного псевдодерева с простотой и упорядочивающими отношениями.
- Эта конструкция удовлетворяет аксиомам Аллинга и может быть сопоставлена с представлением последовательности знаков.
-
Серия Hahn
- Поле сюрреалистических чисел изоморфно полю рядов Хана с вещественными коэффициентами.
- Это обеспечивает связь между сюрреалистическими числами и теорией упорядоченного поля.
-
Отношение к гиперреальным явлениям
- Эрлих построил изоморфизм между полем максимальных сюрреалистических чисел Конвея и максимальными гиперреальными числами.