Касательный

• Определение касательной

  • Касательная — прямая, проходящая через точку кривой и имеющая с ней одинаковый наклон. 
  • Наклон касательной равен производной функции в точке касания. 

• Примеры касательных

  • Касательная к прямой линии всегда параллельна самой прямой. 
  • Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. 
  • Касательная к эллипсу, параболе и гиперболе определяется через их уравнения. 

• Уравнение касательной

  • Уравнение касательной прямой к кривой в точке (X,Y) задается формулой 
  • Для алгебраических кривых уравнение упрощается через однородные координаты. 

• Нормальная линия и угол между кривыми

  • Нормальная линия перпендикулярна касательной и имеет наклон -1. 
  • Угол между кривыми определяется как угол между их касательными. 

• Особые точки и касательные линии

  • В особых точках могут проходить несколько касательных линий. 
  • В случае несамопересекающихся кривых касательная может быть не определена в контрольной точке. 

• Касательные к пространственным кривым

  • Касательные окружности — окружности, пересекающиеся в одной точке. 
  • Касательная плоскость к поверхности — наилучшее приближение плоскости к поверхности в точке. 

• Многомерные многообразия

  • В каждой точке k-мерного многообразия существует k-мерное касательное пространство.