Теорема о неподвижной точке

• Основы теоремы о фиксированной точке

  • Функция F имеет по крайней мере одну фиксированную точку при определенных условиях. 
  • Теорема Банаха гарантирует сходимость итераций функции к фиксированной точке. 
  • Теорема Брауэра утверждает, что непрерывная функция на единичном шаре имеет неподвижную точку, но не описывает метод ее нахождения. 

• Примеры и приложения

  • Функция косинуса имеет фиксированную точку в [-1, 1]. 
  • Теорема Лефшеца и Нильсена позволяют подсчитать неподвижные точки в алгебраической топологии. 
  • В теории PDE обобщения теоремы о фиксированной точке применяются для решения дифференциальных уравнений. 
  • В денотационной семантике рекурсивные определения могут быть описаны с помощью теоремы Кнастера-Тарского. 

• Обобщения и применения в других областях

  • В алгебре и дискретной математике теорема Кнастера-Тарского утверждает, что функция, сохраняющая порядок, имеет неподвижную точку. 
  • В лямбда-исчислении комбинатор с фиксированной точкой позволяет найти фиксированную точку для лямбда-выражений. 
  • В теории множеств лемма о фиксированной точке применяется к непрерывным функциям, строго возрастающим от ординалов к ординалам. 
  • В позитивной теории оператор замыкания имеет множество фиксированных точек, которые являются «закрытыми элементами». 
  • Инволюции на конечных множествах с нечетным числом элементов имеют фиксированную точку, что используется в доказательстве теоремы Ферма. 

• Список теорем о фиксированной точке

  • В статье перечислены различные теоремы о фиксированной точке, включая теорему Атии-Ботта и теорему Тихонова. 

• Ссылки и сноски

  • В статье есть сноски, рекомендации и внешние ссылки, связанные с теорией фиксированной точки.