Теорема о положительной энергии

• Основные результаты Виттена

  • Виттен доказал, что если риманова метрика и симметричный 2-тензор на трехмерном многообразии удовлетворяют определенным условиям, то существует глобально гиперболическое развитие этого многообразия. 
  • Условия включают ограниченность кривизны и определенных производных от метрики и тензора. 
  • Если метрика и тензор удовлетворяют этим условиям, то энергия ADM каждого компонента многообразия неотрицательна. 
  • Если энергия ADM всех компонент равна нулю, то многообразие диффеоморфно евклидову пространству и его развитие имеет нулевую кривизну. 

• Доказательство Виттена

  • Виттен использовал теорему о неявной функции для доказательства существования гладкого отображения из открытого предкомпактного подмножества в пространство Минковского. 
  • Он также использовал теорему о неявной функции для доказательства того, что отображение является диффеоморфизмом. 
  • Он показал, что если метрика и тензор удовлетворяют условиям, то отображение удовлетворяет условиям, необходимым для доказательства существования глобального гиперболического развития. 

• Сравнение с результатами Шон и Яу

  • Шон и Яу также доказали существование глобального гиперболического развития для трехмерных многообразий с определенными ограничениями на кривизну и производные от метрики и тензора. 
  • Однако их доказательство менее убедительно, чем доказательство Виттена, так как они использовали более сложные методы и не привели к таким же однозначным выводам о структуре многообразия. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.