Оглавление
- 1 Тетраэдр
- 1.1 Определение и свойства тетраэдра
- 1.2 Правильный тетраэдр
- 1.3 Измерение и симметрия
- 1.4 Декартовы координаты и симметрия
- 1.5 Отражения и повороты
- 1.6 Ортогональные проекции
- 1.7 Поперечное сечение
- 1.8 Сферическая черепица
- 1.9 Спиральная укладка
- 1.10 Неправильные тетраэдры
- 1.11 Дисфеноидный тетраэдр
- 1.12 Ортосхемы
- 1.13 Заполняющие пространство тетраэдры
- 1.14 Фундаментальные области
- 1.15 Изометрии неправильных тетраэдров
- 1.16 Изометрии и симметрии тетраэдра
- 1.17 Разделение и подобия тетраэдра
- 1.18 Объем тетраэдра
- 1.19 Свойства, аналогичные свойствам треугольника
- 1.20 Центроид и медианы тетраэдра
- 1.21 Линия Эйлера и двенадцатиточечная сфера
- 1.22 Геометрические соотношения и изогонический центр
- 1.23 Тетраэдр как 3-симплексный элемент
- 1.24 Проблема Томсона и правильные тетраэдры
- 1.25 Закон синусов и пространство всех форм тетраэдров
- 1.26 Закон косинусов для тетраэдров
- 1.27 Внутрирадиус и циркумрадиус
- 1.28 Центр окружности и центроид
- 1.29 Целочисленные тетраэдры и связанные многогранники
- 1.30 Топологические свойства тетраэдра
- 1.31 Соединения тетраэдров
- 1.32 Приложения в численном анализе
- 1.33 Проектирование конструкций
- 1.34 Укрепление
- 1.35 Авиация
- 1.36 Химия
- 1.37 Электричество и электроника
- 1.38 Цветовое пространство
- 1.39 Игры
- 1.40 Геология
- 1.41 Популярная культура
- 1.42 Четырехгранный граф
- 1.43 Дополнительные факты
- 1.44 Полный текст статьи:
- 2 Тетраэдр
Тетраэдр
-
Определение и свойства тетраэдра
- Тетраэдр — многогранник с четырьмя треугольными гранями, шестью прямыми ребрами и четырьмя вершинами.
- Это трехмерный случай евклидова симплекса.
- Тетраэдр можно сложить из одного листа бумаги.
-
Правильный тетраэдр
- Правильный тетраэдр имеет равносторонние треугольные грани.
- Это простейший выпуклый дельтаэдр и одно из пяти правильных платоновых тел.
- Правильный тетраэдр самодвойственен и образует звездчатый октаэдр.
-
Измерение и симметрия
- Площадь поверхности правильного тетраэдра в четыре раза больше площади равностороннего треугольника.
- Высота правильного тетраэдра равна 6/3a.
- Объем правильного тетраэдра равен 0.118a³.
- Правильный тетраэдр имеет 24 изометрии, образующие группу симметрии Td.
-
Декартовы координаты и симметрия
- Вершины правильного тетраэдра можно выразить через декартовы координаты.
- Правильный тетраэдр может быть встроен в куб двумя способами.
- Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, образуя правильный тетраэдр.
- Симметрии правильного тетраэдра соответствуют половине симметрий куба.
-
Отражения и повороты
- Отражения в плоскости в сочетании с поворотом на 90° вокруг оси, перпендикулярной плоскости, образуют 6 осей.
- Повороты соответствуют повороту куба лицом к лицу оси.
-
Ортогональные проекции
- Правильный тетраэдр имеет две ортогональные проекции: на вершине и на ребре.
- Первая проекция соответствует плоскости Кокстера A2.
-
Поперечное сечение
- Два наклонных перпендикулярных ребра образуют параллельные плоскости.
- Поперечное сечение представляет собой прямоугольник, который меняется в зависимости от точки пересечения.
-
Сферическая черепица
- Тетраэдр может быть представлен в виде сферической плитки и спроецирован на плоскость.
- Проекция сохраняет углы, но не площади или длины.
-
Спиральная укладка
- Правильные тетраэдры могут быть уложены в хиральную апериодическую цепочку.
- В четырех измерениях тетраэдры образуют периодические цепочки.
-
Неправильные тетраэдры
- Тетраэдры классифицируются по симметрии.
- Ортоцентрический тетраэдр имеет перпендикулярные противоположные грани.
- Изодинамический тетраэдр имеет совпадающие кевианы.
- Изогонический тетраэдр имеет параллельные кевианы.
-
Дисфеноидный тетраэдр
- Дисфеноид имеет четыре конгруэнтных треугольника.
- Правильный тетраэдр является частным случаем дисфеноида.
-
Ортосхемы
- 3-ортосхема имеет прямоугольные треугольники в качестве граней.
- 3-ортосхема не является дисфеноидом.
- 3-ортосхема характерна для куба и других правильных многогранников.
-
Заполняющие пространство тетраэдры
- Заполняющие пространство тетраэдры заполняют пространство копиями себя.
- Куб может быть разделен на шесть 3-ортосхем.
- Дисфеноид может быть заполняющим пространство тетраэдром.
-
Фундаментальные области
- Неправильный тетраэдр является фундаментальной областью группы симметрии.
- Тетраэдры Гурса генерируют правильные многогранники путем зеркального отражения.
-
Изометрии неправильных тетраэдров
- Изометрия неправильного тетраэдра зависит от геометрии.
- Возможны 7 вариантов изометрии.
- Неправильный тетраэдр имеет символ Шлефли ( )∨( )∨( )∨( ).
-
Изометрии и симметрии тетраэдра
- Тетраэдр имеет 8 изометрий, включая тождественные 1, отражения и повороты.
- Тетрагональный дисфеноид имеет 4 изометрии и группу симметрии D2d.
- Ромбический дисфеноид имеет 2 изометрии и группу C2.
-
Разделение и подобия тетраэдра
- Разделение тетраэдра используется для повышения сложности сеток.
- Итеративный LEB приводит к 8 классам подобия для правильного тетраэдра.
- Для почти равносторонних тетраэдров итеративный LEB дает не более 37 классов подобия.
-
Объем тетраэдра
- Объем тетраэдра можно вычислить через формулу объема пирамиды или определитель.
- Объем можно определить через скалярное тройное произведение или определитель Кэли–Менгера.
- Объем можно выразить через длины ребер и углы.
-
Свойства, аналогичные свойствам треугольника
- Тетраэдр имеет внутреннюю сферу, окружность, медиальный тетраэдр и внешние сферы.
- В тетраэдре есть центры, такие как incenter, circumcenter, excenters и центр Шпикера.
- Точка Монжа — это центр, в котором пересекаются шесть средних плоскостей тетраэдра.
-
Центроид и медианы тетраэдра
- Центроид тетраэдра находится в точке, где пересекаются семь отрезков, параллельных в точке.
- Четыре медианы разделены центроидом в соотношении 3:1.
- Центроид является средней точкой между точкой Монжа и центром окружности.
-
Линия Эйлера и двенадцатиточечная сфера
- Линия Эйлера тетраэдра аналогична линии Эйлера треугольника.
- Двенадцатиточечная сфера проходит через четыре замещающие точки Эйлера и центр окружности.
- Центр двенадцатиточечной сферы находится на прямой Эйлера и на расстоянии одной трети пути от точки Монжа к центру окружности.
-
Геометрические соотношения и изогонический центр
- Геометрическая медиана координат положения вершины тетраэдра связана с изогоническим центром.
- Изогонический центр находится внутри тетраэдра, если телесные углы в вершинах меньше π sr.
- Если телесный угол в вершине равен π sr, изогонический центр совпадает с вершиной.
-
Тетраэдр как 3-симплексный элемент
- Тетраэдр имеет 3-симплексную структуру, что отличает его от других платоновых тел.
- Все вершины правильного тетраэдра равноудалены друг от друга.
-
Проблема Томсона и правильные тетраэдры
- Вложение тетраэдров в куб делит куб на пять тетраэдров.
- Правильные тетраэдры не могут составить мозаику пространства, но могут быть объединены с октаэдром для создания ромбоэдра.
-
Закон синусов и пространство всех форм тетраэдров
- Закон синусов для тетраэдров связывает углы и площади граней.
- Пространство всех форм тетраэдров является 5-мерным.
-
Закон косинусов для тетраэдров
- Закон косинусов связывает площади граней с двугранными углами.
- Внутренняя точка тетраэдра связана с площадями граней и основаниями перпендикуляров.
-
Внутрирадиус и циркумрадиус
- Внутрирадиус тетраэдра определяется через площади граней.
- Циркумрадиус тетраэдра связан с длинами ребер и объемом.
-
Центр окружности и центроид
- Центр окружности тетраэдра находится на пересечении трех биссектрисных плоскостей.
- Центроид тетраэдра можно вычислить как среднее арифметическое его вершин.
-
Целочисленные тетраэдры и связанные многогранники
- Существуют тетраэдры с целочисленными длинами ребер, площадями граней и объемом.
- Правильный тетраэдр можно рассматривать как треугольную пирамиду и вырожденный многогранник.
-
Топологические свойства тетраэдра
- Тетраэдр является частью последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3,n}.
- Тетраэдр топологически связан с рядом правильных многогранников и плиток с вершинами третьего порядка.
-
Соединения тетраэдров
- Два тетраэдра в кубе.
- Соединение из пяти тетраэдров.
- Соединение из десяти тетраэдров.
- Восьмигранная стелла.
- Квадратный многогранник.
-
Приложения в численном анализе
- Тетраэдры используются для аппроксимации сложных трехмерных форм.
- Применяются в вычислительной гидродинамике, аэродинамике, электромагнитных полях и других областях.
-
Проектирование конструкций
- Тетраэдр с жесткими краями используется для придания жесткости каркасным конструкциям.
-
Укрепление
- Тетраэдры используются в кальтропах для защиты зоны поражения.
- Применялись в качестве противотанковых средств и для борьбы с волнами.
-
Авиация
- На аэродромах используются тетраэдры для указания направления ветра.
-
Химия
- Тетраэдрическая форма встречается в ковалентно связанных молекулах.
- Вода также имеет тетраэдрическую структуру, но с неидеальной симметрией.
-
Электричество и электроника
- Тетраэдр из шести резисторов имеет вдвое меньшее сопротивление.
- Тетраэдрическая форма кремния влияет на формирование кристаллов.
-
Цветовое пространство
- Тетраэдры используются в алгоритмах преобразования цветового пространства.
-
Игры
- В царскую игру Ура играли с четырехгранными кубиками.
- Некоторые головоломки, похожие на кубики Рубика, являются четырехгранными.
-
Геология
- Тетраэдрическая гипотеза объясняет формирование Земли.
-
Популярная культура
- Стэнли Кубрик изначально задумывал “Монолит” в виде тетраэдра, но отказался от этой идеи.
- Тетраэдр с правильными гранями — решение головоломки с шестью спичками.
-
Четырехгранный граф
- Каркас тетраэдра образует граф с 4 вершинами и 6 ребрами.
- Это частный случай полного графа K4 и графа-колеса W4.
-
Дополнительные факты
- Тетраэдр — один из 5 платоновых графов.
- Тетраэдр используется в различных областях, таких как архитектура, инженерия, химия, электроника и другие.