Топологическая группа

• Определение топологической группы

  • Топологическая группа — это множество с операцией умножения, удовлетворяющее определенным аксиомам. 
  • Примеры включают группы Ли, группы преобразований и группы матриц. 

• Свойства топологических групп

  • Топологическая группа является хаусдорфовой, если она удовлетворяет аксиомам отделимости и компактности. 
  • Топологическая группа является локально компактной, если она удовлетворяет аксиомам отделимости и компактности в окрестности каждой точки. 
  • Топологическая группа является метризуемой, если существует метрика, которая индуцирует ту же топологию. 

• Примеры топологических групп

  • Группа целых чисел Z является топологической группой с операцией сложения. 
  • Группа матриц GL(n,R) является топологической группой с операцией умножения матриц. 
  • Группа вращений SO(n+1) является топологической группой с операцией вращения. 

• Изоморфизм топологических групп

  • Изоморфизм топологических групп — это биективное отображение, сохраняющее структуру группы. 
  • Теоремы об изоморфизме в обычной теории групп не всегда верны в топологической постановке. 

• Метризация топологических групп

  • Топологическая группа может быть метризуема, если существует метрика, которая индуцирует ту же топологию. 
  • Метрика должна быть левоинвариантной или правоинвариантной, в зависимости от направления умножения. 
  • Группа является польским локально компактным пространством, если она удовлетворяет определенным аксиомам. 

• Подгруппы и фактор-группы

  • Подгруппа топологической группы является топологической группой, если она снабжена топологией подпространства. 
  • Фактор-группа топологической группы является топологической группой при заданной фактор-топологии. 
  • Фактор-группа является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда подгруппа замкнута. 

• Теоремы о замкнутых подгруппах

  • Замкнутая подгруппа является топологической группой и является хаусдорфовой. 
  • Нормальная подгруппа является топологической группой и является хаусдорфовой при условии замкнутости. 

• Комбинаторика и компактность

  • В коммутативной топологической группе произведение компактного множества и замкнутого множества является замкнутым множеством. 
  • Каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой топологической группы замкнута. 

• Примеры и следствия

  • Примеры включают группу целых чисел, группу матриц и группу вращений. 
  • Теоремы о замкнутых подгруппах и метризации топологических групп имеют важные следствия. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.