Топологический граф

• Основные понятия и определения

  • Топологический граф – это граф, вершины которого являются точками, а ребра – непрерывными кривыми. 
  • Геометрический граф – это граф, вершины которого являются точками, а ребра – отрезками прямых. 
  • Топологическая сложность – это количество вершин в топологическом графе, которые имеют не менее двух общих точек с другими вершинами. 
  • Геометрическая сложность – это количество вершин в геометрическом графе, которые имеют не менее двух общих точек с другими вершинами. 

• Экстремальные задачи

  • Задача о топологическом графе с максимальной топологической сложностью – это задача о нахождении топологического графа с максимальной топологической сложностью. 
  • Задача о геометрическом графе с максимальной геометрической сложностью – это задача о нахождении геометрического графа с максимальной геометрической сложностью. 

• Топологические и геометрические графы

  • Топологические графы могут быть представлены в виде кривых на плоскости, в то время как геометрические графы могут быть представлены в виде отрезков прямых. 
  • Топологические и геометрические графы имеют различные свойства, такие как количество вершин, ребер и пересечений. 

• Число пересечений

  • Число пересечений графа – это минимальное количество точек пересечения на всех рисунках графа. 
  • Существуют различные параметры, связанные с числом пересечений, такие как число парных пересечений и число нечетных пересечений. 
  • Вычисление числа пересечений является NP-полной задачей. 

• Задачи типа Рамсея

  • В теории графов задачи типа Рамсея касаются раскраски ребер графа таким образом, чтобы получить монохроматический подграф. 
  • В геометрических графах задачи типа Рамсея направлены на поиск монохроматических подструктур с определенными геометрическими условиями. 

• Топологические гиперграфы

  • Топологические гиперграфы обобщают задачи на топологические реализации симплициальных комплексов. 
  • Существуют известные результаты о количестве симплексов, которые могут быть покрыты набором точек без пересечения, но требуется дальнейшее исследование для определения ключевых понятий и проблем.