Оглавление
- 1 Угол
- 1.1 Определение угла
- 1.2 История и этимология
- 1.3 Обозначение углов
- 1.4 Типы углов
- 1.5 Вертикальные и смежные углы
- 1.6 Комбинирование пар углов
- 1.7 Углы, связанные с многоугольниками
- 1.8 Внутренние и внешние углы
- 1.9 Измерение углов
- 1.10 Единицы измерения углов
- 1.11 Пространственный анализ
- 1.12 Предложения по изменению единиц измерения
- 1.13 Определение углов в двумерной декартовой системе координат
- 1.14 Эквивалентные углы и котерминальные углы
- 1.15 Связанные количества и постулаты
- 1.16 Углы между кривыми и деление углов
- 1.17 Точечный продукт и внутренний продукт
- 1.18 Углы между подпространствами и риманова геометрия
- 1.19 Гиперболический угол и углы в географии и астрономии
- 1.20 Дополнительные понятия и записи
- 1.21 Измерение угла
- 1.22 Астрономические измерения
- 1.23 Дополнительные темы
- 1.24 Дополнительные ресурсы
- 1.25 Полный текст статьи:
- 2 Угол
Угол
-
Определение угла
- Угол образуется двумя лучами, имеющими общую конечную точку (вершину угла).
- Углы могут быть плоскими (образованными двумя лучами) или двугранными (образованными пересечением двух плоскостей).
- Величина угла называется угловой мерой или углом наклона.
-
История и этимология
- Слово “угол” происходит от латинского angulus.
- Евклид определял плоский угол как наклон друг к другу двух прямых, пересекающихся и не лежащих прямолинейно.
- Прокл рассматривал угол как качество, количество или отношение.
-
Обозначение углов
- В математических выражениях используются греческие буквы для обозначения углов.
- Строчные латинские буквы также используются.
- Три определяющие точки могут обозначать углы в геометрических фигурах.
-
Типы углов
- Нулевой угол (0°) или не повернутый.
- Острый угол (менее 90°).
- Прямой угол (90° или π/2 радиана).
- Тупой угол (между 90° и 180°).
- Прямой угол (180° или π радиан).
- Угол отражения (от 180° до 360°).
- Полный угол (360° или 2π радиан).
- Наклонный угол (не кратен прямому углу).
-
Вертикальные и смежные углы
- Вертикальные углы равны по величине.
- Смежные углы имеют общую вершину и ребро, но не имеют общих внутренних точек.
- Смежные углы, дающие прямой угол, называются дополнительными.
-
Комбинирование пар углов
- Постулат сложения углов: мера угла AOC равна сумме мер углов AOB и BOC.
- Дополнительные углы: сумма квадратов синусов равна 1, сумма квадратов косинусов равна 1, тангенс угла равен котангенсу его дополнения.
- Линейная пара углов: смежные углы параллелограмма являются дополнительными.
- Сумма двух углов треугольника является дополнительной к третьему.
-
Углы, связанные с многоугольниками
- Углы, связанные с многоугольниками, включают углы, образованные пересечением сторон многоугольника.
-
Внутренние и внешние углы
- Внутренний угол лежит внутри простого многоугольника
- Внешний угол дополняет внутренний и образует линейную пару
- В каждой вершине многоугольника есть два внешних угла
- Сумма внешних углов простого выпуклого многоугольника равна одному полному повороту
-
Измерение углов
- Величина угла определяется наименьшим поворотом, преобразующим один луч в другой
- Углы одинаковой величины называются равными
- Радиан используется для измерения углов, но не для выражения отношения длин
-
Единицы измерения углов
- Основные единицы: градус, радиан, градиан
- Радиан системы СИ равен 1
- Радиан используется только для выражения углов
-
Пространственный анализ
- Плоский угол определяется как θ = s/r
- Радиан системы СИ равен 1 м/м
- Радиан должен явно отображаться в величинах, если используются другие угловые меры
-
Предложения по изменению единиц измерения
- Вводятся размерные константы для изменения единиц измерения
- Константа η = 1 рад−1 предложена Торренсом
- Текущая система СИ предполагает η = 1, что позволяет пропускать η в формулах
-
Определение углов в двумерной декартовой системе координат
- Угол определяется двумя сторонами и вершиной в начале координат
- Положительные углы представляют повороты в направлении положительной оси y, отрицательные — в направлении отрицательной оси y
- В стандартном положении положительные углы выполняются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке
-
Эквивалентные углы и котерминальные углы
- Углы с одинаковой мерой называются равными или конгруэнтными
- Котерминальные углы имеют общие конечные стороны, но отличаются по размеру на целое число, кратное повороту
-
Связанные количества и постулаты
- Наклон или градиент равен тангенсу угла
- Расстояние между двумя линиями определяется как квадрат синуса угла между ними
- Синус угла и синус его дополнительного угла совпадают
-
Углы между кривыми и деление углов
- Угол между прямой и кривой определяется как угол между касательными в точке пересечения
- Древнегреческие математики знали, как разделить угол пополам, но не могли разделить на три части
-
Точечный продукт и внутренний продукт
- Угол между векторами связан с их скалярным произведением и длинами
- В абстрактном реальном пространстве используется внутреннее произведение для определения углов
-
Углы между подпространствами и риманова геометрия
- Определение угла между одномерными подпространствами может быть расширено до подпространств конечных размеров
- В римановой геометрии угол определяется через метрический тензор
-
Гиперболический угол и углы в географии и астрономии
- Гиперболический угол является аргументом гиперболической функции
- В географии и астрономии углы используются для определения местоположения и видимого размера объектов
-
Дополнительные понятия и записи
- Прибор для измерения угла наклона
- Углы между плоскостями
- Угловая статистика
- Биссектриса угла
- Угловое ускорение
- Угловой диаметр
- Угловая скорость
- Аргументация (комплексный анализ)
- Астрологический аспект
- Центральный угол
- Проблема с часовым углом
- Десятичные градусы
- Двугранный угол
- Теорема о внешнем угле
- Золотой угол
- Большое расстояние по окружности
- Угол наклона рупора
- Вписанный угол
- Иррациональный угол
- Фаза (волны)
- Транспортир
- Телесный угол
- Сферический угол
- Трансцендентный угол
- Трисекция
- Зенитный угол
-
Измерение угла
- 20° – приблизительная ширина размаха ладони на расстоянии вытянутой руки
- Измерения зависят от конкретного испытуемого
- Данные следует рассматривать как приблизительные результаты эмпирического исследования
-
Астрономические измерения
- Прямое восхождение и склонение измеряются в угловых единицах, выраженных во времени
- Используются 24-часовые сутки
-
Дополнительные темы
- Прибор для измерения угла наклона
- Углы между плоскостями
- Угловая статистика (среднее значение, стандартное отклонение)
- Биссектриса угла
- Угловое ускорение
- Угловой диаметр
- Угловая скорость
- Аргументация (комплексный анализ)
- Астрологический аспект
- Центральный угол
- Проблема с часовым углом
- Десятичные градусы
- Двугранный угол
- Теорема о внешнем угле
- Золотой угол
- Большое расстояние по окружности
- Угол наклона рупора
- Вписанный угол
- Иррациональный угол
- Фаза (волны)
- Транспортир
- Телесный угол
- Сферический угол
- Трансцендентный угол
- Трисекция
- Зенитный угол
-
Дополнительные ресурсы
- Записи
- Рекомендации
- Библиография