Ультрафинитизм

• Определение и основные идеи ультрафинитизма

  • Ультрафинитизм – форма финитизма и интуитивизма, отвергающая теоретико-числовые функции, такие как возведение в степень. 
  • Философы ультрафинитизма отрицают существование бесконечного множества натуральных чисел и сомневаются в физической реализуемости больших чисел. 

• Критика классической концепции натуральных чисел

  • Эдвард Нельсон критикует классическую концепцию натуральных чисел за её неопределенность. 
  • В классической математике натуральные числа определяются через итеративное применение функции-преемника, что вызывает сомнения в их итеративности. 

• Направления ультрафинитизма

  • Актуализм – направление ультрафинитизма, связанное с физической реализуемостью математики. 
  • Некоторые версии ультрафинитизма являются формами конструктивизма, но большинство конструктивистов считают их экстремальными. 

• Логическая основа ультрафинитизма

  • А. S. Тролстра отклонил идею о логической основе ультрафинитизма, указывая на отсутствие точной разработки в строгой математической логике. 

• Люди, связанные с ультрафинитизмом

  • Александр Есенин-Вольпин руководил исследованиями в области ультрафинитизма с 1959 по 2016 год. 
  • Среди других математиков, связанных с ультрафинитизмом, – Дорон Зейлбергер, Эдвард Нельсон, Рохит Дживанлал Парих и Жан-Поль Ван Бендегем. 

• Формальное развитие ультрафинитизма

  • Шонан Лавин разработал теоретико-множественный ультрафинитизм, совместимый с классической математикой. 
  • Лавин допускает включение “бесконечно больших” чисел, сохраняя основные принципы арифметики. 

• Ограничения, основанные на теории вычислительной сложности

  • Теория сложности вычислений может влиять на ограничения, связанные с большими числами. 
  • Андрас Корнаи и Владимир Сазонов внесли вклад в развитие теории явного финитизма и допустимых чисел соответственно. 

• Влияние на развитие математики

  • Работы по ограниченной арифметике Сэмюэля Басса и теории ограниченной обратной математики Стивена А. Кука и Фуонг Нгуен исследуют формальное развитие ультрафинитизма.