Векторы строк и столбцов

• Основы векторной алгебры

  • Вектор-столбец — это матрица с одним столбцом из m элементов. 
  • Вектор строки — это матрица с одним рядом из n элементов. 
  • Транспонирование вектора-строки дает вектор-столбец, и наоборот. 

• Векторные пространства

  • Множество векторов-строк образует n-мерное векторное пространство. 
  • Множество векторов-столбцов образует m-мерное векторное пространство. 

• Двойственность векторных пространств

  • Пространство векторов-строк является двойственным пространству векторов-столбцов. 
  • Линейный функционал в пространстве векторов-столбцов может быть представлен умножением на вектор-строку. 

• Обозначение векторов

  • Векторы-столбцы иногда записываются как векторы-строки с транспонированием. 
  • Некоторые авторы используют альтернативное обозначение с запятыми для векторов-строк и точками с запятой для векторов-столбцов. 

• Операции с векторами

  • Матричное умножение включает умножение каждого вектора строки на вектор столбца. 
  • Скалярное произведение двух векторов-столбцов равно матричному произведению их транспонирования. 
  • Матричное произведение вектора-столбца и вектора-строки дает внешнее произведение. 

• Матричные преобразования

  • Матрица может представлять линейную карту и преобразовывать векторы строк и столбцов. 
  • Матричные преобразования могут изменять конфигурацию n-пространства. 

• Примеры и рекомендации

  • В статье упоминаются ковариантность и контравариантность векторов, а также вектор единиц и вектор с одним входом.