Верхний набор

• Определение и свойства частично упорядоченных множеств

  • Частично упорядоченное множество — это множество с заданным отношением порядка. 
  • Отношение порядка может быть строгим или нестрогим. 
  • Частично упорядоченные множества обладают свойствами транзитивности и антисимметричности. 

• Верхние и нижние множества

  • Верхнее множество — это подмножество, содержащее все элементы, которые больше заданного элемента. 
  • Нижнее множество — это подмножество, содержащее все элементы, которые меньше заданного элемента. 
  • Частично упорядоченное множество является верхним множеством само по себе. 
  • Пересечение и объединение верхних множеств снова является верхним множеством. 
  • Дополнением к верхнему множеству является нижнее множество, и наоборот. 

• Решетки и антицепи

  • Решетка — это частично упорядоченное множество, в котором каждое подмножество является упорядоченным множеством. 
  • Антицепь — это подмножество, в котором каждый элемент меньше любого другого элемента. 
  • Антицепи образуют полную решетку, если они упорядочены по включению. 

• Биекции между антицепями и верхними множествами

  • Для частично упорядоченных множеств, удовлетворяющих условию нисходящей цепочки, существует биекция между антицепями и их верхними замыканиями. 
  • Для более общих частных порядков это соответствие не выполняется. 

• Верхнее и нижнее замыкания

  • Верхнее замыкание множества — это наименьший верхний набор, содержащий его. 
  • Нижнее замыкание множества — это наименьший нижний набор, содержащий его. 
  • Верхние и нижние замыкания являются примерами операторов замыкания. 

• Порядковые номера и финальные наборы

  • Порядковый номер — это набор всех меньших порядковых номеров. 
  • Финальный набор — это подмножество, содержащее для каждого элемента некоторый элемент, больший или равный ему.