Вырожденная билинейная форма

• Определение вырожденной билинейной формы

  • Билинейная форма f (x, y) в векторном пространстве V называется вырожденной, если отображение из V в V∗ не является изоморфизмом. 
  • В конечномерном случае вырожденная форма имеет нетривиальное ядро. 

• Примеры невырожденных форм

  • Внутренние произведения и симплектические формы являются важными примерами невырожденных форм. 
  • Симметричные невырожденные формы обобщают внутренние произведения, позволяя отображению быть изоморфизмом без требования положительной определенности. 

• Связь с определителем

  • В конечномерном пространстве билинейная форма вырождена тогда и только тогда, когда определитель матрицы формы равен нулю. 
  • Невырожденная форма соответствует невырожденной матрице. 

• Связанные понятия

  • Изотропная квадратичная форма имеет ненулевой вектор, для которого значение формы равно нулю. 
  • Определенная квадратичная форма имеет одинаковый знак для всех ненулевых векторов. 
  • Унимодулярная форма и совершенное спаривание связаны, но не совпадают в общем случае. 

• Примеры в различных областях

  • Изучение вещественных квадратичных алгебр демонстрирует различия между типами квадратичных форм. 
  • В бесконечномерном пространстве билинейная форма может быть инъективной, но не сюръективной. 

• Терминология и геометрические свойства

  • Полностью вырожденная форма обращается в нуль на всех векторах. 
  • Отображение f является невырожденным, если соответствующее подпространство тривиально. 
  • Изотропная линия квадратичной формы соответствует сингулярности на соответствующей квадрической гиперповерхности. 

• Дополнительные ссылки

  • Упоминание о неопределенном внутреннем пространстве произведения и двойной системе.