Проективное покрытие
-
Определение проективного покрытия
- Проективное покрытие — это пара (P, p), где P — проективный объект, а p — избыточный эпиморфизм.
- В категории R-модулей избыточный эпиморфизм — это эпиморфизм p с избыточным ядром.
-
Свойства проективных покрытий
- Проективные покрытия и их избыточные эпиморфизмы уникальны с точностью до изоморфизма, но изоморфизм может быть не уникальным.
- Избыточное ядро гарантирует, что P оптимально покрывает M.
- Если (P, p) — проективное покрытие M, а P’ — другой проективный модуль с эпиморфизмом p’, то существует расщепленный эпиморфизм α от P’ до P, такой что pα = p’.
-
Примеры проективных покрытий
- Если M — проективный модуль, то тождественное отображение от M до M является избыточным эпиморфизмом.
- Если J(R) = 0, то модуль M имеет проективное покрытие, если он уже является проективным.
- Если модуль M прост, то он является вершиной своего проективного покрытия.
- Инъективная оболочка для модуля всегда существует, но над некоторыми кольцами модули могут не иметь проективных покрытий.
-
Кольца с проективными покрытиями
- Кольца, которые обеспечивают все свои правильные модули проективными покрытиями, называются правильными совершенными кольцами.
- Любой R-модуль M имеет плоскую оболочку, равную проективной оболочке, если M имеет проективную оболочку.
-
Рекомендации и примечания
- Статья содержит список рекомендаций по форматированию и библиографическому описанию.
- В статье также упоминаются различные темы и цветовые схемы для HTML-кода.