Дифференциальная структура
-
Определение и свойства дифференциальных структур
- Дифференциальная структура превращает топологическое многообразие в n-мерное дифференциальное многообразие.
- Для топологического многообразия требуется, чтобы новая топология совпадала с существующей.
-
Определение Ck-атласа
- Ck-атлас состоит из биекций между подмножествами многообразия и открытыми подмножествами Rn.
- Диаграммы в Ck-атласе должны быть совместимы и иметь непрерывные частные производные порядка k.
-
Эквивалентность и классы Ck-атласов
- Ck-атласы, совместимые с Ck, образуют Ck-атлас, определяющий дифференциальную структуру Ck.
- Два Ck-атласа эквивалентны, если их объединение образует Ck-атлас.
-
Существование и единственность Ck-структур
- Для любого k > 0 максимальный атлас содержит C∞-атлас на том же множестве.
- Для любого n > 0 существует только один класс гладких структур над топологическим многообразием.
- Для k = 0 существуют топологические многообразия без C1-структур.
-
Гладкие типы и экзотические сферы
- Для компактных многообразий размерности больше 4 существует конечное число гладких типов.
- Для сфер размерности от 1 до 20 количество гладких типов известно.
- Для 4-сферы S4 существует гипотеза о единственном гладком типе, но она может быть ложной.
-
Дифференциальные структуры на многообразиях
- Для измерений меньше 4 существует только одна дифференциальная структура для каждого топологического многообразия.
- Для компактных многообразий размерности больше 4 число структур конечно и согласуется с числом на сфере.
- В измерении 4 для компактных многообразий число структур зависит от второго числа Бетти b2.
-
Примеры и нерешенные вопросы
- Для некомпактных 4-х многообразий существует бесчисленное количество дифференциальных структур.
- Для S4 и других пространств неизвестно, как устроены другие дифференциальные структуры.